Exercício 4: Determine o trabalho realizado pelo campo de força F para movimentar um objeto sobre uma curva C, supondo que F(x, y, z)=x z imath+y x jmath+z y k e que a seguinte equação seja uma parametrização de C: r(t)=t^2 imath-t^3 jmath+t^4 k, 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de força F(x,y,z)=x z,vecimath+y x,vecjmath+z y,vec k e a parametrização
r(t)=(t^2,,-t^3,,t^4), 0<= t<=1
de uma curva C. Queremos o trabalho
W=integralC Fcdot d r,
ou seja, calcular r'(t), avaliar F em r(t), fazer o produto escalar e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização:
r'(t)=ddt(t^2,,-t^3,,t^4)=(2t,,-3t^2,,4t^3)

Passo 3

Avaliar o campo F ao longo da curva. Como x=t^2, y=-t^3, z=t^4, temos
F( r(t)) =(t^2cdot t^4,,-t^3cdot t^2,,t^4cdot(-t^3)) =(t^6,,-t^5,,-t^7)

Passo 4

Calcular o produto escalar F( r(t))cdot r'(t):
(t^6,,-t^5,,-t^7)cdot(2t,,-3t^2,,4t^3) =2t^7+3t^7-4t^10 =5t^7-4t^10

Passo 5

Integrar de t=0 até 1 para obter o trabalho:
W=integral0^1l(5t^7-4t^10r),dt =[5t^88-4t^1111]0^1 =58-411 =2388

Resposta

O trabalho realizado pelo campo ao longo de C é 2388.

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