Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de separação de variáveis:
R.
Passo 1
Temos a equação diferencial
. Esse é um caso clássico de EDO separável, pois o lado direito pode ser escrito como
. Vamos usar o método de separação de variáveis, que consiste em colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro.
Passo 2
Reescrevendo
e colocando
no denominador, obtemos:
Aqui usamos a propriedade
e movemos
para o lado de
.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
As integrais são básicas:
e
. Juntando as constantes obtemos:
onde
é a constante geral.
Passo 4
Falta isolar
. Primeiro, escrevemos:
Em seguida, invertendo o expoente:
Por fim, aplicamos o logaritmo natural para obter
:
Resposta
y = \ln\bigl(1/(-C - e^x)\bigr)