Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de separação de variáveis:
y^prime=e^x+y R. y=ln (1-C-e^x)

Passo 1

Temos a equação diferencial y' = e^x+y. Esse é um caso clássico de EDO separável, pois o lado direito pode ser escrito como e^x e^y. Vamos usar o método de separação de variáveis, que consiste em colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro.

Passo 2

Reescrevendo y' = dydx e colocando e^y no denominador, obtemos:
dydx = e^x e^y Longrightarrow e^-y ,dy = e^x ,dx
Aqui usamos a propriedade e^x+y = e^x e^y e movemos e^y para o lado de dy.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral e^-y ,dy = integral e^x ,dx
As integrais são básicas: integral e^-y dy = -e^-y + C1 e integral e^x dx = e^x + C2. Juntando as constantes obtemos:
-,e^-y = e^x + C
onde C = C2 - C1 é a constante geral.

Passo 4

Falta isolar y. Primeiro, escrevemos:
e^-y = -e^x - C
Em seguida, invertendo o expoente:
e^y = 1-e^x - C
Por fim, aplicamos o logaritmo natural para obter y:
y = lnl(1-C - e^xr)

Resposta

y = \ln\bigl(1/(-C - e^x)\bigr)

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