Resolva as seguintes equações diferenciais, integrando sucessivamente:
(a) d^3 yd x^3=e^-x R. y(x)=-e^-x+C1 x^22+C2 x+C3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceira ordem tfracd^3ydx^3=e^-x por integrações sucessivas. Vamos usar o conceito de integral indefinida (antiderivada), lembrando que cada integração reduz a ordem da derivada e introduz uma constante de integração.

Passo 2

Primeira integração: integramos tfracd^3ydx^3=e^-x em relação a x. Como integrale^-xdx=-e^-x, obtemos
d^2ydx^2=-e^-x+C1,
onde C1 é a primeira constante de integração.

Passo 3

Segunda integração: integramos tfracd^2ydx^2=-e^-x+C1. Usando
integral(-e^-x)dx=e^-x,integral C1,dx=C1x,
chegamos a
dydx=e^-x+C1x+C2,
com C2 sendo a segunda constante de integração.

Passo 4

Terceira integração: integramos tfracdydx=e^-x+C1x+C2. Sabendo que
integrale^-xdx=-e^-x,integral x,dx=x^22,integral C2,dx=C2x,
obtemos
y=-e^-x+C1x^22+C2x+C3,
onde C3 é a terceira constante de integração.

Resposta

y(x)=-e^-x+tfracC1x^22+C2x+C3

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