Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias (EDO), preferencialmente sem uso de métodos especiais, mas apenas com seu conhecimento sobre funções e suas derivadas. Não deixe de colocar a constante arbitrária e calculá-la para que y(0)=0 :
d y / d x=i y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{dy}{dx}=i\,y
e pede a solução y(x) que satisfaça a condição inicial y(0)=0.
Informações relevantes:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A constante i é a unidade imaginária (ou seja, i^2=-1).
  • Deve-se encontrar a solução geral e, em seguida, determinar a constante arbitrária usando y(0)=0.

Passo 2

Idea do método: esta EDO é do tipo linear homogêneo com coeficiente constante. Há duas formas simples e equivalentes de achar a solução:
  1. Reconhecer que a função exponencial resolve equações do tipo \dfrac{dy}{dx}=k\,y. De fato, para qualquer constante k vale \dfrac{d}{dx}\big(e^{k x}\big)=k e^{k x}. Então é natural testar uma solução da forma y(x)=C e^{i x}, onde C é uma constante (em geral complexa).
  2. Separação de variáveis: quando y\neq 0 podemos escrever \dfrac{1}{y}\,dy=i\,dx e integrar ambos os lados.
Vou explicar as duas brevemente para fixar o raciocínio.

Passo 3

Método por verificação direta (mais curto e seguro para constantes complexas):
Proponha y(x)=C e^{i x} com C constante. Calcule a derivada:
\frac{dy}{dx}=C\frac{d}{dx}\big(e^{i x}\big)=C\cdot i e^{i x}=i\,(C e^{i x})=i\,y(x).
Portanto y(x)=C e^{i x} satisfaz a equação diferencial para qualquer constante complexa C. Assim a solução geral é
y(x)=C e^{i x},
onde C\in\mathbb{C}. Note que a escolha C=0 também é permitida e corresponde à solução identicamente zero.

Passo 4

(Metodo por separação de variáveis — para ver de onde vem a exponencial)
Assumindo y\neq0, escrevemos
\frac{1}{y}\,dy=i\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int\frac{1}{y}\,dy=\int i\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln y = i x + K,
onde K é constante de integração. Exponenciando,
y=e^{i x+K}=e^{K}e^{i x}.
Chamando C=e^{K} (constante complexa), obtemos novamente
y(x)=C e^{i x}.
Aqui é importante lembrar que, no contexto de funções complexas, C pode assumir qualquer valor complexo; a solução y\equiv0 ocorre quando C=0.

Passo 5

Interpretação via fórmula de Euler (bônus didático): a exponencial complexa se escreve
e^{i x}=\cos x + i\sin x,
então a solução geral pode ser escrita como
y(x)=C(\cos x + i\sin x).
Se C=a+ib com a,b\in\mathbb{R}, isso dá as partes real e imaginária da solução explicitamente. Não é necessário para resolver a condição inicial, mas ajuda a entender comportamento (oscilações, amplitude, fase).

Passo 6

Impor a condição inicial y(0)=0. Pela solução geral:
y(0)=C e^{i\cdot 0}=C\cdot 1=C.
Como queremos y(0)=0, segue que C=0. Portanto a constante arbitrária determinada pela condição inicial é C=0 e a solução que satisfaz y(0)=0 é a solução trivial.

Resposta

y(x)=0

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