Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias (EDO), preferencialmente sem uso de métodos especiais, mas apenas com seu conhecimento sobre funções e suas derivadas. Não deixe de colocar a constante arbitrária e calculá-la para que
:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede a solução
que satisfaça a condição inicial
.
Informações relevantes:
- A incógnita é a função
. - A constante
é a unidade imaginária (ou seja, ). - Deve-se encontrar a solução geral e, em seguida, determinar a constante arbitrária usando
.
Passo 2
Idea do método: esta EDO é do tipo linear homogêneo com coeficiente constante. Há duas formas simples e equivalentes de achar a solução:
-
Reconhecer que a função exponencial resolve equações do tipo
. De fato, para qualquer constante vale . Então é natural testar uma solução da forma , onde é uma constante (em geral complexa). -
Separação de variáveis: quando
podemos escrever e integrar ambos os lados.
Vou explicar as duas brevemente para fixar o raciocínio.
Passo 3
Método por verificação direta (mais curto e seguro para constantes complexas):
Proponha
com
constante. Calcule a derivada:
Portanto
satisfaz a equação diferencial para qualquer constante complexa
. Assim a solução geral é
onde
. Note que a escolha
também é permitida e corresponde à solução identicamente zero.
Passo 4
(Metodo por separação de variáveis — para ver de onde vem a exponencial)
Assumindo
, escrevemos
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
Chamando
(constante complexa), obtemos novamente
Aqui é importante lembrar que, no contexto de funções complexas,
pode assumir qualquer valor complexo; a solução
ocorre quando
.
Passo 5
Interpretação via fórmula de Euler (bônus didático): a exponencial complexa se escreve
então a solução geral pode ser escrita como
Se
com
, isso dá as partes real e imaginária da solução explicitamente. Não é necessário para resolver a condição inicial, mas ajuda a entender comportamento (oscilações, amplitude, fase).
Passo 6
Impor a condição inicial
. Pela solução geral:
Como queremos
, segue que
. Portanto a constante arbitrária determinada pela condição inicial é
e a solução que satisfaz
é a solução trivial.