Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias (EDO), preferencialmente sem uso de métodos especiais, mas apenas com seu conhecimento sobre funções e suas derivadas. Não deixe de colocar a constante arbitrária e calculá-la para que y(0)=0 :
d y / d x=3-4 y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária com condição inicial e pede a solução que satisfaça essa condição. As informações são:
  • Equação diferencial: \dfrac{dy}{dx}=3-4y.
  • Condição inicial: y(0)=0.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Observação rápida sobre possibilidades: se existir uma solução constante y(x)=y_0 tal que \dfrac{dy}{dx}=0, então precisa valer 3-4y_0=0, ou seja y_0=\dfrac{3}{4}. Essa é a solução de equilíbrio. Como a condição inicial é y(0)=0\neq\dfrac{3}{4}, buscamos a solução não-constante.
Vamos resolver a equação separando variáveis — isto é, escrever todos os termos em y de um lado e em x do outro.
Partindo de
\frac{dy}{dx}=3-4y,
escrevemos
\frac{dy}{3-4y}=dx.

Passo 3

Integrar ambos os lados em relação às variáveis correspondentes. Para integrar o lado esquerdo é conveniente fazer a substituição \,u=3-4y,. Então \,du=-4\,dy e dy=-\dfrac{1}{4}\,du. Assim,
\int \frac{dy}{3-4y}=\int dx \quad\Longrightarrow\quad \int \frac{-\tfrac{1}{4}\,du}{u}=x+C,
onde C é a constante de integração. A integral do lado esquerdo é
-\frac{1}{4}\ln|u|=x+C.
Voltando a y (lembrando que u=3-4y):
-\frac{1}{4}\ln|3-4y|=x+C.

Passo 4

Multiplicando por -4 obtemos
\ln|3-4y|=-4x+C_1,
onde C_1=-4C é outra constante arbitrária. Exponenciando:
|3-4y|=e^{C_1}e^{-4x}.
Como e^{C_1}>0, escrevemos e^{C_1}=C_2 (constante positiva) e absorvemos o sinal possível em uma constante real C, obtendo a forma geral
3-4y=Ce^{-4x},
onde agora C é uma constante real arbitrária (pode ser zero, positivo ou negativo). Isolando y:
y=\frac{3}{4}-\frac{C}{4}e^{-4x}.

Passo 5

Usar a condição inicial y(0)=0 para determinar C. Substituindo x=0 e y=0 em
0=\frac{3}{4}-\frac{C}{4}e^{0}=\frac{3}{4}-\frac{C}{4},
temos \dfrac{C}{4}=\dfrac{3}{4}, logo C=3. Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}e^{-4x}=\frac{3}{4}\bigl(1-e^{-4x}\bigr).

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): calcular \dfrac{dy}{dx} da solução encontrada.
y(x)=\frac{3}{4}\bigl(1-e^{-4x}\bigr) \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{3}{4}\cdot 4 e^{-4x}=3e^{-4x}.
Agora calcular 3-4y:
3-4y=3-4\cdot\frac{3}{4}\bigl(1-e^{-4x}\bigr)=3-3(1-e^{-4x})=3e^{-4x}.
Como \dfrac{dy}{dx}=3e^{-4x}=3-4y, a solução está correta e satisfaz a condição inicial y(0)=0.

Resposta

y(x)=\frac{3}{4}\bigl(1-e^{-4x}\bigr)

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