Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias (EDO), preferencialmente sem uso de métodos especiais, mas apenas com seu conhecimento sobre funções e suas derivadas. Não deixe de colocar a constante arbitrária e calculá-la para que
:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária com condição inicial e pede a solução que satisfaça essa condição. As informações são:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Observação rápida sobre possibilidades: se existir uma solução constante
tal que
, então precisa valer
, ou seja
. Essa é a solução de equilíbrio. Como a condição inicial é
, buscamos a solução não-constante.
Vamos resolver a equação separando variáveis — isto é, escrever todos os termos em de um lado e em
do outro.
Vamos resolver a equação separando variáveis — isto é, escrever todos os termos em
Partindo de
escrevemos
Passo 3
Integrar ambos os lados em relação às variáveis correspondentes. Para integrar o lado esquerdo é conveniente fazer a substituição
,. Então
e
. Assim,
onde
é a constante de integração. A integral do lado esquerdo é
Voltando a
(lembrando que
):
Passo 4
Multiplicando por
obtemos
onde
é outra constante arbitrária. Exponenciando:
Como
, escrevemos
(constante positiva) e absorvemos o sinal possível em uma constante real
, obtendo a forma geral
onde agora
é uma constante real arbitrária (pode ser zero, positivo ou negativo). Isolando
:
Passo 5
Usar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
em
temos
, logo
. Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): calcular
da solução encontrada.
Agora calcular
:
Como
, a solução está correta e satisfaz a condição inicial
.