Utilizando fator integrante, resolva as seguintes EDO:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
Informações dadas:
- A incógnita é
como função de . - A equação está na forma de uma equação linear de primeira ordem:
. - Não há condições iniciais fornecidas (logo vamos obter a solução geral, com constante arbitrária).
Passo 2
Identificar a forma padrão e os coeficientes:
- A forma padrão é
. - Aqui
e .
Lembrete didático (o que é fator integrante e por que usar):
- Para uma equação linear de primeira ordem
define-se o fator integrante
- Multiplicar a equação por
transforma o lado esquerdo em derivada do produto :
- Como
, o termo coincide com e assim o lado esquerdo fica exato, o que permite integrar facilmente.
Passo 3
Calcular o fator integrante para
:
Observação: multiplicar por uma constante multiplicativa em
não altera o procedimento, por isso escolhemos a forma simples
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
:
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral à esquerda dá
. Para a direita, usar substituição
, então
, portanto
onde
é a constante de integração. Logo obtemos
Passo 6
Isolar
dividindo por
:
Interpretação e verificação rápida:
- A solução geral é a soma de uma solução particular
e da solução geral da homogênea . - Verificação curta: calcular
e então
o que coincide com o termo do lado direito, confirmando que a solução está correta.
Força aí — essa técnica de fator integrante aparece muito em provas; com prática fica automático: identificar
, calcular
, multiplicar, integrar e isolar
.