Utilizando fator integrante, resolva as seguintes EDO:
dy / dx+2 x y=4 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
\frac{dy}{dx}+2x\,y=4x.
Informações dadas:
  • A incógnita é y como função de x.
  • A equação está na forma de uma equação linear de primeira ordem: \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
  • Não há condições iniciais fornecidas (logo vamos obter a solução geral, com constante arbitrária).

Passo 2

Identificar a forma padrão e os coeficientes:
  • A forma padrão é \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
  • Aqui P(x)=2x e Q(x)=4x.
Lembrete didático (o que é fator integrante e por que usar):
  • Para uma equação linear de primeira ordem \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x) define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
  • Multiplicar a equação por \mu(x) transforma o lado esquerdo em derivada do produto \mu(x)y:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)y.
  • Como \mu'(x)=\mu(x)P(x), o termo \mu'(x)y coincide com \mu(x)P(x)y e assim o lado esquerdo fica exato, o que permite integrar facilmente.

Passo 3

Calcular o fator integrante para P(x)=2x:
\mu(x)=\exp\!\left(\int 2x\,dx\right)=\exp\!\left(x^{2}\right)=e^{x^{2}}.
Observação: multiplicar por uma constante multiplicativa em \mu não altera o procedimento, por isso escolhemos a forma simples e^{x^{2}}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x^{2}}:
e^{x^{2}}\frac{dy}{dx}+2x e^{x^{2}} y=4x e^{x^{2}}.
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}} y\big)=4x e^{x^{2}}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}} y\big)\,dx=\int 4x e^{x^{2}}\,dx.
A integral à esquerda dá e^{x^{2}} y. Para a direita, usar substituição u=x^{2}\Rightarrow du=2x\,dx, então 4x\,dx=2\,du, portanto
\int 4x e^{x^{2}}\,dx = 2\int e^{u}\,du = 2e^{u}+C = 2e^{x^{2}}+C,
onde C é a constante de integração. Logo obtemos
e^{x^{2}} y = 2e^{x^{2}} + C.

Passo 6

Isolar y dividindo por e^{x^{2}}:
y = 2 + C e^{-x^{2}}.
Interpretação e verificação rápida:
  • A solução geral é a soma de uma solução particular y_p=2 e da solução geral da homogênea y_h=C e^{-x^{2}}.
  • Verificação curta: calcular y' = -2x C e^{-x^{2}} e então
y'+2x y = -2x C e^{-x^{2}} + 2x\big(2 + C e^{-x^{2}}\big)=4x,
o que coincide com o termo do lado direito, confirmando que a solução está correta.
Força aí — essa técnica de fator integrante aparece muito em provas; com prática fica automático: identificar P(x), calcular \mu=e^{\int P}, multiplicar, integrar e isolar y.

Resposta

y=2+Ce^{-x^{2}}

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