Resolva as seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas: a equação é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes (os coeficientes são
e
). O que se busca é a solução geral
(ou seja, a família de todas as soluções reais, com duas constantes arbitrárias).
Passo 2
Ideia inicial (motivação didática): uma técnica eficiente para equações desse tipo é testar soluções do tipo
, onde
é um número (possivelmente complexo) que precisamos determinar. Por que essa forma? Porque ao derivar uma exponencial ela volta a ser exponencial multiplicada por uma constante:
Substituindo essas expressões na equação original obtemos uma condição sobre
(chamada equação característica). Essa condição garante que a exponencial escolhida realmente satisfaça a equação diferencial.
Passo 3
Formamos a equação característica substituindo
na equação:
Como
para todo
, podemos dividir por
e ficar com a equação polinomial
Agora resolvemos essa quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como
, obtemos as raízes complexas conjugadas
Passo 4
Interpretação das raízes complexas e construção da solução real: quando a equação característica tem raízes do tipo
(com
reais e
), uma base de soluções complexas é
e
. Usando a fórmula de Euler
podemos combinar essas soluções complexas para obter duas soluções reais independentes:
No nosso caso
e
. Portanto a solução geral (combinação linear dessas duas soluções reais) é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Explicando as constantes: elas aparecem porque a equação é de segunda ordem, então precisamos de duas constantes livres para representar a família completa de soluções.
Passo 5
Verificação rápida (intuição): se você preferir checar, basta derivar a solução proposta duas vezes, substituir na equação original e notar que os termos se cancelam — isso ocorre porque os exponentes
foram escolhidos exatamente para anular o polinômio característico
. Essa verificação é direta, mas algébrica; a ideia principal a lembrar é: raízes complexas dão solução do tipo exponencial amortecida multiplicada por cosseno e seno.