Resolva as seguintes equações diferenciais.
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+11 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y'' + 6y' + 11y = 0.
Informações dadas: a equação é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes (os coeficientes são 6 e 11). O que se busca é a solução geral y(x) (ou seja, a família de todas as soluções reais, com duas constantes arbitrárias).

Passo 2

Ideia inicial (motivação didática): uma técnica eficiente para equações desse tipo é testar soluções do tipo \displaystyle y=e^{rx}, onde r é um número (possivelmente complexo) que precisamos determinar. Por que essa forma? Porque ao derivar uma exponencial ela volta a ser exponencial multiplicada por uma constante:
\text{se } y=e^{rx}\text{ então } y'=r e^{rx},\qquad y''=r^2 e^{rx}.ã
Substituindo essas expressões na equação original obtemos uma condição sobre r (chamada equação característica). Essa condição garante que a exponencial escolhida realmente satisfaça a equação diferencial.

Passo 3

Formamos a equação característica substituindo y=e^{rx} na equação:
r^2 e^{rx} + 6 r e^{rx} + 11 e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e ficar com a equação polinomial
r^2 + 6r + 11 = 0.
Agora resolvemos essa quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot 1\cdot 11}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 44}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-8}}{2}.
Como \sqrt{-8}=2\mathrm{i}\sqrt{2}, obtemos as raízes complexas conjugadas
r = -3 \pm \mathrm{i}\sqrt{2}.

Passo 4

Interpretação das raízes complexas e construção da solução real: quando a equação característica tem raízes do tipo \alpha \pm \mathrm{i}\beta (com \alpha,\beta reais e \beta\neq 0), uma base de soluções complexas é e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)x} e e^{(\alpha-\mathrm{i}\beta)x}. Usando a fórmula de Euler
e^{\mathrm{i}\beta x}=\cos(\beta x)+\mathrm{i}\sin(\beta x),
podemos combinar essas soluções complexas para obter duas soluções reais independentes:
e^{\alpha x}\cos(\beta x)\quad\text{e}\quad e^{\alpha x}\sin(\beta x).
No nosso caso \alpha=-3 e \beta=\sqrt{2}. Portanto a solução geral (combinação linear dessas duas soluções reais) é
y(x)=e^{-3x}\big(C_1\cos(\sqrt{2}\,x)+C_2\sin(\sqrt{2}\,x)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias. Explicando as constantes: elas aparecem porque a equação é de segunda ordem, então precisamos de duas constantes livres para representar a família completa de soluções.

Passo 5

Verificação rápida (intuição): se você preferir checar, basta derivar a solução proposta duas vezes, substituir na equação original e notar que os termos se cancelam — isso ocorre porque os exponentes r=-3\pm\mathrm{i}\sqrt{2} foram escolhidos exatamente para anular o polinômio característico r^2+6r+11. Essa verificação é direta, mas algébrica; a ideia principal a lembrar é: raízes complexas dão solução do tipo exponencial amortecida multiplicada por cosseno e seno.

Resposta

y(x)=e^{-3x}\big(C_1\cos(\sqrt{2}\,x)+C_2\sin(\sqrt{2}\,x)\big)

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