Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
d yd x=3 x^2+2 x-5

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de primeira ordem: dydx = 3x^2 + 2x - 5. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, mais especificamente de integração. Para resolver, vamos precisar integrar essa expressão em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro que queremos encontrar y em função de x. A equação já está separada, então podemos integrar ambos os lados diretamente:
dydx = 3x^2 + 2x - 5

Passo 3

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral dydx , dx = integral (3x^2 + 2x - 5) , dx
O lado esquerdo simplifica para y, então temos:
y = integral 3x^2 , dx + integral 2x , dx + integral (-5) , dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. integral 3x^2 , dx = 3 cdot x^33 = x^3
  2. integral 2x , dx = 2 cdot x^22 = x^2
  3. integral (-5) , dx = -5x

Passo 5

Somando todas as integrais resolvidas:
y = x^3 + x^2 - 5x + C
Aqui, C é a constante de integração que aparece porque a integral indefinida inclui todas as possíveis antiderivadas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x^3 + x^2 - 5x + C

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