Resolva as seguintes equações diferenciais usando substituições:
y^prime+2 x y=x

Passo 1

Temos a equação diferencial y' + 2xy = x. Isso é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que consiste em reescrever a equação na forma padrão, calcular um fator que simplifica o lado esquerdo em derivada de um produto e, em seguida, integrar ambos os lados.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y' + P(x)y = Q(x), identificando P(x) = 2x e Q(x) = x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 2x,dxr) = e^x^2.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por mu(x), obtendo e^x^2y' + 2x,e^x^2y = x,e^x^2. O lado esquerdo passa a ser a derivada de e^x^2y:
ddxl(e^x^2yr) = x,e^x^2

Passo 5

Para integrar o lado direito, usamos a substituição t = x^2, de modo que dt = 2x,dx. Assim, integral x,e^x^2,dx = tfrac12integral e^t,dt = tfrac12e^t + C = tfrac12e^x^2 + C Logo,
integral ddxl(e^x^2yr),dx = integral x,e^x^2,dx Longrightarrow e^x^2y = tfrac12e^x^2 + C

Passo 6

Isolamos y dividindo por e^x^2, o que leva à solução geral y = tfrac12 + C,e^-x^2

Resposta

y = 12 + C e^-x^2

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