(3 Pontos) Calcule
, onde
é a borda da regiāo delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
. Note que
é composta por 2 partes, uma em cada superfície que a delimita. Necessitando portanto de separar o cálculo em 2 integrais de superficie.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a superfície fechada que limita a região sob o paraboloide
até o plano
. Para resolver, vamos decompor
em duas partes: a parte lateral (o paraboloide, que chamamos de
) e a parte de topo (o disco no plano
, que chamamos de
).
Passo 2
Para calcular
no paraboloide, parametrizamos por
como
Então
e
Logo a integral vira
Em coordenadas polares
,
, a parte angular
,
então
.
então
Passo 3
Para a parte de topo
(o disco no plano
com
), basta observar que
onde
é o mesmo disco
. Por simetria (produto
ímpar em relação a eixos), essa integral também vale zero.
Passo 4
Somando as duas contribuições, obtemos
Resposta
0