(3 Pontos) Calcule integral duplaS2 x z d S, onde S é a borda da regiāo delimitada pelo paraboloide y=x^2+z^2 e pelo plano y=1. Note que S é composta por 2 partes, uma em cada superfície que a delimita. Necessitando portanto de separar o cálculo em 2 integrais de superficie.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS xz,dS, onde S é a superfície fechada que limita a região sob o paraboloide y = x^2 + z^2 até o plano y = 1. Para resolver, vamos decompor S em duas partes: a parte lateral (o paraboloide, que chamamos de S1) e a parte de topo (o disco no plano y=1, que chamamos de S2).

Passo 2

Para calcular integral duplaS1 xz,dS no paraboloide, parametrizamos por (u,v) como
r(u,v) = l(u,;u^2+v^2,;vr), (u,v)in D, D:;u^2+v^2<=1
Então
ru = (1,;2u,;0), rv = (0,;2v,;1)
e
|rutimes rv| = raiz4u^2+1+4v^2=raiz4(u^2+v^2)+1
Logo a integral vira
integral duplaS1 xz,dS = integral duplaD u,v,raiz4(u^2+v^2)+1,du,dv
Em coordenadas polares u=rhocostheta, v=rhosintheta, a parte angular
integral0^2picosthetasintheta,dtheta=0,
então
integral duplaS1 xz,dS = 0.

Passo 3

Para a parte de topo S2 (o disco no plano y=1 com x^2+z^2<=1), basta observar que
integral duplaS2 xz,dS = integral duplaD' xz,dA,
onde D' é o mesmo disco x^2+z^2<=1. Por simetria (produto xz ímpar em relação a eixos), essa integral também vale zero.

Passo 4

Somando as duas contribuições, obtemos
integral duplaS xz,dS = integral duplaS1 xz,dS + integral duplaS2 xz,dS = 0 + 0 = 0

Resposta

0

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