Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
y^prime+tan x cdot y=cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear y' + tan x,y = cos x. O conteúdo aqui é usar o método do fator integrante para equações lineares do tipo y' + p(x)y = q(x).

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão identificando p(x)=tan x e q(x)=cos x:
y' + tan x,y = cos x

Passo 3

Em seguida calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral tan x,dx. Como integral tan x,dx = -ln|cos x|, temos
mu(x)=e^-ln|cos x|=1cos x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=sec x:
sec x,y' + sec xtan x,y = sec xcos x = 1

Passo 5

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de mu(x)y=sec x,y, pois
ddx(sec x,y)=sec x,y' + sec xtan x,y

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
integralddx(sec x,y),dx = integral1,dx implies sec x,y = x + C, onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente isolamos y:
y(x)=cos x,(x + C)

Resposta

y(x)=\cos x,(x+C)

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