Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva:
b) d x-2 y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial:
d x - 2 y\, d y = 0.
O que é pedido:
  • Determinar um fator integrante apropriado (se necessário).
  • Resolver a equação (obter a família de soluções).
Vou também listar as informações úteis extraídas da equação, escrevendo-a na forma padrão M(x,y)\,d x + N(x,y)\,d y = 0:
M(x,y)=1,\qquad N(x,y)=-2y.

Passo 2

Teste de exatidão e ideia de fator integrante.
Explicação didática (o básico que precisa saber):
  • Uma forma diferencial M(x,y)\,d x + N(x,y)\,d y é exata se existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que \dfrac{\partial \Psi}{\partial x}=M e \dfrac{\partial \Psi}{\partial y}=N.
  • Um teste prático é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade ocorrer num domínio adequado, a forma é exata e não é necessário usar fator integrante.
  • Um fator integrante \mu(x) ou \mu(y) é uma função que multiplicada por toda a equação transforma uma forma não-exata em exata; isto é, faz com que \mu M\,d x+\mu N\,d y seja exata.
Agora aplicando ao problema: calcule as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(1)=0, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2y)=0.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}, a forma é exata já como está. Portanto um fator integrante apropriado é simplesmente
\mu(x,y)=1,
ou seja, não é necessário introduzir outro fator integrante: a equação já é exata.

Passo 3

Resolver a equação por potencial (método da exatidão).
Explicação do método passo a passo:
  • Se a forma é exata, existe \Psi(x,y) tal que \dfrac{\partial \Psi}{\partial x}=M. Podemos encontrar \Psi integrando M em relação a x e depois ajustar por uma função de y.
  • Depois exigimos \dfrac{\partial \Psi}{\partial y}=N para determinar essa função de y.
Aplicando:
Integramos M em relação a x:
\Psi(x,y)=\int M(x,y)\,d x=\int 1\,d x = x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
Agora impomos \dfrac{\partial \Psi}{\partial y}=N. Calcule a derivada:
\frac{\partial \Psi}{\partial y}=h'(y).
Igualando a N:
h'(y)=N(x,y)=-2y.
Integrando em relação a y:
h(y)=\int -2y\,d y = -y^{2} + C_1,
onde C_1 é constante absoluta. Podemos absorvê-la depois na constante final.
Logo
\Psi(x,y)=x - y^{2} + C_1.
A condição implícita de solução é \Psi(x,y)=\text{const}. Podemos rearranjar e tomar uma constante genérica C:
x - y^{2} = C,
ou equivalentemente
x = y^{2} + C.

Passo 4

Método alternativo (mais direto): separação/integral direta.
Explicação curta: a equação também pode ser vista como uma equação separável se tratarmos x como função de y (ou vice-versa). Reescrevendo:
d x = 2y\,d y.
Integrando ambos os lados:
\int d x = \int 2y\,d y \quad\Rightarrow\quad x = y^{2} + C,
obtemos a mesma solução. Esse procedimento é válido desde que se esteja confortável em integrar em relação a y.

Passo 5

Verificação rápida (confirmação):
Derivando implicitamente x - y^{2} = C obtemos
d x - 2y\,d y = 0,
que é exatamente a equação original. Portanto a solução está correta.

Resposta

x - y^{2} = C

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