Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva:
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial:
O que é pedido:
- Determinar um fator integrante apropriado (se necessário).
- Resolver a equação (obter a família de soluções).
Vou também listar as informações úteis extraídas da equação, escrevendo-a na forma padrão
:
Passo 2
Teste de exatidão e ideia de fator integrante.
Explicação didática (o básico que precisa saber):
- Uma forma diferencial
é exata se existe uma função potencial tal que e . - Um teste prático é verificar se
Se essa igualdade ocorrer num domínio adequado, a forma é exata e não é necessário usar fator integrante.
- Um fator integrante
ou é uma função que multiplicada por toda a equação transforma uma forma não-exata em exata; isto é, faz com que seja exata.
Agora aplicando ao problema: calcule as derivadas parciais
Como
, a forma é exata já como está. Portanto um fator integrante apropriado é simplesmente
ou seja, não é necessário introduzir outro fator integrante: a equação já é exata.
Passo 3
Resolver a equação por potencial (método da exatidão).
Explicação do método passo a passo:
- Se a forma é exata, existe
tal que . Podemos encontrar integrando em relação a e depois ajustar por uma função de . - Depois exigimos
para determinar essa função de .
Aplicando:
Integramos em relação a
:
Integramos
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Agora impomos
. Calcule a derivada:
Igualando a
:
Integrando em relação a
:
onde
é constante absoluta. Podemos absorvê-la depois na constante final.
Logo
A condição implícita de solução é
. Podemos rearranjar e tomar uma constante genérica
:
ou equivalentemente
Passo 4
Método alternativo (mais direto): separação/integral direta.
Explicação curta: a equação também pode ser vista como uma equação separável se tratarmos
como função de
(ou vice-versa). Reescrevendo:
Integrando ambos os lados:
obtemos a mesma solução. Esse procedimento é válido desde que se esteja confortável em integrar em relação a
.
Passo 5
Verificação rápida (confirmação):
Derivando implicitamente
obtemos
que é exatamente a equação original. Portanto a solução está correta.