Considere o escoamento de uma mistura binária \mathrm{A}-\mathrm{B} em regime estacionário no interior de um duto retangular de dimensões:
\begin{aligned} & 0 \leq x \leq W \\\ & 0 \leq y \leq H \end{aligned}
sendo W a largura do duto e H a altura. O campo de velocidades é dado por:
\vec{V}=\frac{v_{0}}{W} x \vec{\imath}+\frac{v_{0}}{H} y \vec{\jmath}+v_{\max }\left(1-\frac{x}{W}\right)\left(1-\frac{y}{H}\right) \vec{k}
O perfil da fração molar do componente A é dado por:
y_{A}=y_{A 0}+a x+b y+c z
sendo a, b e c constantes. Admitindo que a concentração total da mistura (C) e a difusividade da mistura ( D_{A B} ) sejam constantes e conhecidas, calcule a vazão molar de A no interior do duto para uma dada posição Z.

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Duto retangular com coordenadas:
    0 \le x \le W,\qquad 0 \le y \le H,
    e estamos interessados em uma seção transversal fixada em z=Z.
  • Campo de velocidades:
    \vec{V}=\frac{v_{0}}{W} x\,\vec{\imath}+\frac{v_{0}}{H} y\,\vec{\jmath}+v_{\max}\left(1-\frac{x}{W}\right)\left(1-\frac{y}{H}\right)\vec{k}.
  • Perfil da fração molar de A:
    y_A=y_{A0}+a x+b y+c z,
    com a,b,c constantes (e z aqui é a coordenada axial; para a seção pedida tomamos z=Z).
  • Concentração total da mistura C e difusividade D_{AB} são constantes e conhecidos.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a vazão molar de A que atravessa a seção z=Z do duto (ou seja, a vazão molar no interior do duto para uma dada posição Z). Isso significa integrar a componente normal (axial, direção \vec{k}) do fluxo molar de A sobre a área da seção transversal.

Passo 2

Qual é a expressão local do fluxo molar de A que vamos integrar? Explicando a teoria necessária de forma direta e aplicada:
  • A contribuição convectiva (transporte por movimento do fluido) para o fluxo molar de A é dada por C\,y_A\,\vec{V}. Aqui:
    • C é a concentração total (mol/m^3),
    • y_A é a fração molar de A (adimensional),
    • \vec{V} é a velocidade (m/s).
      O produto C\,y_A dá a concentração molar de A (mol/m^3) e multiplicando pela velocidade obtemos fluxo convectivo (mol/(m^2·s)).
  • A contribuição difusiva segundo a lei de Fick (fluxo molar de A relativo à mistura média) é -C D_{AB}\nabla y_A. Aqui:
    • D_{AB} é a difusividade molar (m^2/s),
    • o gradiente \nabla y_A dá a direção e intensidade da variação da fração molar,
    • o sinal menos indica que a difusão é no sentido de redução do gradiente (de maior para menor fração).
Portanto o fluxo molar de A por unidade de área (vetor) é:
\vec{N}_A = C\,y_A\,\vec{V} - C D_{AB}\,\nabla y_A.
Queremos a componente axial (direção \vec{k}) desse vetor, avaliada em z=Z, e depois integrada sobre a área A=WH.

Passo 3

Escrever explicitamente a componente axial N_{A,z}.
  • A componente axial da velocidade é
    V_z(x,y)=v_{\max}\left(1-\frac{x}{W}\right)\left(1-\frac{y}{H}\right).
  • A fração molar é \;y_A(x,y,z)=y_{A0}+a x+b y+c z. Para a seção em z=Z usamos z=Z (constante ao integrar sobre x,y).
  • O gradiente de y_A é
    \nabla y_A = \left(a\right)\vec{\imath}+\left(b\right)\vec{\jmath}+\left(c\right)\vec{k},
    portanto a derivada em z é \partial y_A/\partial z = c (constante).
Assim a componente axial do fluxo molar de A é
N_{A,z}(x,y,Z)=C\,y_A(x,y,Z)\,V_z(x,y) - C D_{AB}\,c.
Observe que o termo difusivo axial é simplesmente -C D_{AB} c, constante em x,y.

Passo 4

Escrever a vazão molar total de A através da seção em z=Z como integral dupla sobre a área da seção:
\dot{n}_A(Z)=\iint_{A} N_{A,z}(x,y,Z)\,dA =\int_{0}^{W}\int_{0}^{H} \big[ C\,y_A(x,y,Z)\,V_z(x,y) - C D_{AB} c \big]\,dy\,dx.
Podemos separar a integral em duas partes (convectiva e difusiva):
\dot{n}_A(Z)=C\underbrace{\int_{0}^{W}\int_{0}^{H} y_A(x,y,Z)\,V_z(x,y)\,dy\,dx}_{I_{\text{conv}}} - C D_{AB} c \underbrace{\int_{0}^{W}\int_{0}^{H} dy\,dx}_{WH}.

Passo 5

Calcular a integral convectiva I_{\text{conv}}. Substituindo as expressões:
I_{\text{conv}}=\int_{0}^{W}\int_{0}^{H} \big(y_{A0}+a x+b y+c Z\big) \,v_{\max}\left(1-\frac{x}{W}\right)\left(1-\frac{y}{H}\right)\,dy\,dx.
Conveniente expandir o produto \left(1-\frac{x}{W}\right)\left(1-\frac{y}{H}\right)=1-\frac{x}{W}-\frac{y}{H}+\frac{xy}{WH}. Assim cada termo do polinômio multiplica esse fator; vamos integrar termo a termo.
Primeiro calcule a integral básica
\int_{0}^{W}\int_{0}^{H} \left(1-\frac{x}{W}-\frac{y}{H}+\frac{xy}{WH}\right) dy\,dx.
Avaliação direta:
\begin{aligned} \int_{0}^{W}\int_{0}^{H} 1\,dy\,dx &= WH,\\[4pt] \int_{0}^{W}\int_{0}^{H} \frac{x}{W}\,dy\,dx &= \frac{1}{W}\left(\int_{0}^{W} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{H} dy\right) = \frac{1}{W}\cdot\frac{W^{2}}{2}\cdot H = \frac{WH}{2},\\[4pt] \int_{0}^{W}\int_{0}^{H} \frac{y}{H}\,dy\,dx &= \frac{1}{H}\left(\int_{0}^{H} y\,dy\right)\left(\int_{0}^{W} dx\right) = \frac{1}{H}\cdot\frac{H^{2}}{2}\cdot W = \frac{WH}{2},\\[4pt] \int_{0}^{W}\int_{0}^{H} \frac{xy}{WH}\,dy\,dx &= \frac{1}{WH}\left(\int_{0}^{W} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{H} y\,dy\right) = \frac{1}{WH}\cdot\frac{W^{2}}{2}\cdot\frac{H^{2}}{2} = \frac{WH}{4}. \end{aligned}
Somando com os sinais correspondentes:
\int_{0}^{W}\int_{0}^{H} \left(1-\frac{x}{W}-\frac{y}{H}+\frac{xy}{WH}\right) dy\,dx = WH -\frac{WH}{2}-\frac{WH}{2}+\frac{WH}{4}=\frac{WH}{4}.
Agora os termos com x e y. Calculamos
\int_{0}^{W}\int_{0}^{H} x\left(1-\frac{x}{W}-\frac{y}{H}+\frac{xy}{WH}\right)dy\,dx
e de modo análogo o termo com y.
Calculemos o termo com x:
\begin{aligned} \int_{0}^{W}\int_{0}^{H} x\,dy\,dx &= H\cdot\frac{W^{2}}{2}=\frac{H W^{2}}{2},\\[4pt] \int_{0}^{W}\int_{0}^{H} x\cdot\frac{x}{W}\,dy\,dx &= \frac{H W^{2}}{3},\\[4pt] \int_{0}^{W}\int_{0}^{H} x\cdot\frac{y}{H}\,dy\,dx &= \frac{W^{2} H}{4},\\[4pt] \int_{0}^{W}\int_{0}^{H} x\cdot\frac{xy}{WH}\,dy\,dx &= \frac{W^{2} H}{6}. \end{aligned}
Combinando com os sinais 1 - x/W - y/H + xy/(WH) obtemos:
\int_{0}^{W}\int_{0}^{H} x\left(1-\frac{x}{W}-\frac{y}{H}+\frac{xy}{WH}\right)dy\,dx = \frac{W^{2}H}{2}-\frac{W^{2}H}{3}-\frac{W^{2}H}{4}+\frac{W^{2}H}{6} = \frac{W^{2}H}{12}.
Pelo simetria, o termo com y
\int_{0}^{W}\int_{0}^{H} y\left(1-\frac{x}{W}-\frac{y}{H}+\frac{xy}{WH}\right)dy\,dx = \frac{WH^{2}}{12}.
Finalmente, o termo multiplicado por cZ é igual ao do termo constante y_{A0} multiplicado por cZ/y_{A0}, ou seja,
\int_{0}^{W}\int_{0}^{H} cZ\left(1-\frac{x}{W}-\frac{y}{H}+\frac{xy}{WH}\right)dy\,dx = cZ\cdot\frac{WH}{4}.
Juntando tudo e multiplicando por v_{\max}, obtemos:
I_{\text{conv}}=v_{\max}\left[\frac{WH}{4}(y_{A0}+cZ) + \frac{W^{2}H}{12}a + \frac{WH^{2}}{12}b\right].]

Passo 6

Agora volte à expressão completa da vazão molar \dot{n}_A(Z), lembrando do termo difusivo integrado:
\dot{n}_A(Z)=C\,I_{\text{conv}} - C D_{AB} c\,WH.
Substituindo I_{\text{conv}} do passo anterior:
\dot{n}_A(Z) = C v_{\max}\left[\frac{WH}{4}(y_{A0}+cZ) + \frac{W^{2}H}{12}a + \frac{WH^{2}}{12}b\right] - C D_{AB} c\,WH.
Podemos fatorar CWH para deixar a forma mais compacta e fácil de interpretar:
\dot{n}_A(Z) = C W H\left\{ v_{\max}\left[\frac{1}{4}(y_{A0}+cZ) + \frac{W}{12}a + \frac{H}{12}b\right] - D_{AB} c \right\}.

Passo 7

Interpretação rápida e verificação dimensional (importante para a prova):
  • CWH tem dimensão mol/s por (velocidade sem dimensões?) Na verdade C (mol/m^3) vezes area WH (m^2) dá mol/m, multiplicado por velocidade (m/s) dá mol/s: dimensões consistentes.
  • O termo em colchetes reúne a contribuição convectiva média da fração molar (primeiros termos) menos a contribuição difusiva média (último termo).
  • A dependência com Z aparece somente via o termo linear cZ dentro da fração molar, ou seja, a vazão varia linearmente com a posição axial se c\neq 0.

Resposta

\dot{n}_A(Z)=C v_{\max}\left[\frac{WH}{4}\big(y_{A0}+cZ\big)+\frac{W^{2}H}{12}a+\frac{WH^{2}}{12}b\right]-C D_{AB} c\,WH
\text{ou}\qquad \dot{n}_A(Z)=C W H\left\{ v_{\max}\left[\frac{1}{4}(y_{A0}+cZ)+\frac{W}{12}a+\frac{H}{12}b\right]-D_{AB} c\right\}.

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