Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y^{\prime}+2 y=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(x) + 2\,y(x) = e^{2x}.
O conteúdo aqui é o método do fator integrante para EDOs lineares do tipo
y' + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{2x}\,e^{2x} = e^{4x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de \mu(x)\,y(x), pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr) = e^{2x}y' + 2e^{2x}y.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr)\,dx = \int e^{4x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{2x}y = \frac{1}{4}e^{4x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y(x) dividindo por e^{2x}:
y(x) = \frac{1}{4}e^{4x}\,e^{-2x} + C\,e^{-2x} = \frac{1}{4}e^{2x} + C\,e^{-2x}.

Resposta

y(x) = C\,e^{-2x} + \frac{1}{4}\,e^{2x},
onde C é uma constante arbitrária.

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