Questão 7: (1,0) Considere a função z=f(x, y)=\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}. Verifique a seguinte igualdade
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z

Passo 1

O enunciado dá a função z=f(x,y)=\dfrac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} e pede para verificar a igualdade
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z.
Informações relevantes fornecidas:
z(x,y)=\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Observação sobre domínio: a função está definida para todos os (x,y) tais que x^{2}+y^{2}\neq 0 (ou seja, em todo ponto exceto (0,0)). O ponto (1,0) está dentro do domínio.

Passo 2

O que são \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}? São as derivadas parciais de z: para \dfrac{\partial z}{\partial x} derivamos em relação a x tratando y como constante; para \dfrac{\partial z}{\partial y} derivamos em relação a y tratando x como constante.
Vamos calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} usando a regra do quociente. A regra do quociente diz: se z=\dfrac{u(x,y)}{v(x,y)}, então
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{u_x v - u v_x}{v^{2}},
onde u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x} e v_x=\dfrac{\partial v}{\partial x}.
Aqui tomamos
u(x,y)=x y^{2},\qquad v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=y^{2},
pois y^{2} é constante em relação a x;
v_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x.
Agora aplicamos a regra do quociente:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y^{2}\,(x^{2}+y^{2})-(x y^{2})\,(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
y^{2}(x^{2}+y^{2})-2x^{2}y^{2}=y^{2}(x^{2}+y^{2}-2x^{2})=y^{2}(y^{2}-x^{2}).
Logo
\boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y^{2}(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.}

Passo 3

Agora calculamos \dfrac{\partial z}{\partial y}. Usamos novamente a regra do quociente com os mesmos u e v, mas derivando em relação a y.
Calculamos:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x y^{2})=2xy,
pois x é tratado como constante;
v_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{(2xy)(x^{2}+y^{2})-(x y^{2})(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador passo a passo:
(2xy)(x^{2}+y^{2})-2xy^{3}=2x^{3}y+2xy^{3}-2xy^{3}=2x^{3}y.
Logo
\boxed{\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2x^{3}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.}

Passo 4

Agora formamos a combinação x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} substituindo as derivadas que achamos.
Primeiro termo:
x\frac{\partial z}{\partial x}=x\cdot\frac{y^{2}(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{x y^{2}(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Segundo termo:
y\frac{\partial z}{\partial y}=y\cdot\frac{2x^{3}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{2x^{3}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Somando:
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x y^{2}(y^{2}-x^{2})+2x^{3}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Fatorando x y^{2} no numerador:
\frac{x y^{2}\bigl(y^{2}-x^{2}+2x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x y^{2}(y^{2}+x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Cancelando um fator x^{2}+y^{2} entre numerador e denominador:
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Mas isso é exatamente z. Portanto a igualdade está verificada para todo (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq 0.

Passo 5

Verificação no ponto (1,0) (pedido no enunciado): substituindo (x,y)=(1,0) nas fórmulas encontradas,
z(1,0)=\frac{1\cdot 0^{2}}{1^{2}+0^{2}}=0,
\frac{\partial z}{\partial x}(1,0)=\frac{0^{2}(0^{2}-1^{2})}{(1^{2}+0^{2})^{2}}=0,
\frac{\partial z}{\partial y}(1,0)=\frac{2\cdot 1^{3}\cdot 0}{(1^{2}+0^{2})^{2}}=0.
Logo
1\cdot\frac{\partial z}{\partial x}(1,0)+0\cdot\frac{\partial z}{\partial y}(1,0)=0=z(1,0).
A igualdade vale também em (1,0).

Passo 6

Comentário adicional (intuitivo): uma forma mais curta de ver isso é notar que z(x,y) é homogênea de grau 1 (isto é, z(tx,ty)=t\,z(x,y) para t>0); pelo teorema de Euler para funções homogêneas tem-se x z_x+y z_y=z. Fizemos, porém, a verificação direta via derivadas parciais para mostrar cada passo algébrico.

Resposta

A igualdade x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z é verdadeira para todo (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq 0.
Em particular, em (1,0) temos 1\cdot\frac{\partial z}{\partial x}(1,0)+0\cdot\frac{\partial z}{\partial y}(1,0)=0=z(1,0).

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