Questão 7:
Considere a função
. Verifique a seguinte igualdade
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
Observação sobre domínio: a função está definida para todos os
tais que
(ou seja, em todo ponto exceto
). O ponto
está dentro do domínio.
Passo 2
O que são
e
? São as derivadas parciais de
: para
derivamos em relação a
tratando
como constante; para
derivamos em relação a
tratando
como constante.
Vamos calcular
usando a regra do quociente. A regra do quociente diz: se
, então
onde
e
.
Aqui tomamos
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
pois
é constante em relação a
;
Agora aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Logo
Passo 3
Agora calculamos
. Usamos novamente a regra do quociente com os mesmos
e
, mas derivando em relação a
.
Calculamos:
pois
é tratado como constante;
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador passo a passo:
Logo
Passo 4
Agora formamos a combinação
substituindo as derivadas que achamos.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando:
Fatorando
no numerador:
Cancelando um fator
entre numerador e denominador:
Mas isso é exatamente
. Portanto a igualdade está verificada para todo
com
.
Passo 5
Verificação no ponto
(pedido no enunciado): substituindo
nas fórmulas encontradas,
Logo
A igualdade vale também em
.
Passo 6
Comentário adicional (intuitivo): uma forma mais curta de ver isso é notar que
é homogênea de grau
(isto é,
para
); pelo teorema de Euler para funções homogêneas tem-se
. Fizemos, porém, a verificação direta via derivadas parciais para mostrar cada passo algébrico.
Resposta
A igualdade
é verdadeira para todo
com
.
Em particular, em temos
.
Em particular, em