Questão 5: Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} a função definida por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{2 x^{3}+2 y^{3}}{2 x^{2}+2 y^{2}} ; & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 2 ; & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.
a) (1,0) Determine os pontos onde f(x, y) é contínua.
b) (0,5) Verifique se f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0) existem.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{2x^{3}+2y^{3}}{2x^{2}+2y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 2, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
Pede duas coisas:
a) Determinar os pontos onde f é contínua.
b) Verificar se as derivadas parciais \,f_{x}(0,0) e \,f_{y}(0,0) existem.
Informações relevantes que temos: a expressão para (x,y)\neq(0,0) é uma razão de polinômios, e o valor de f no ponto (0,0) foi definido como 2. A questão true/false sobre continuidade em cada ponto exige checar o limite quando (x,y)\to(0,0) e, para as derivadas parciais no origem, usar a definição limite do quociente incremental com a outra coordenada fixa.]

Passo 2

Continuidade em pontos (x,y)\neq(0,0).
Explicação didática: uma razão de polinômios é contínua onde o denominador não é zero, porque polinômios são funções contínuas e operações algébricas preservam continuidade (soma, produto, quociente quando denominador ≠ 0). Aqui, para (x,y)\neq(0,0) temos
2x^{2}+2y^{2}=2(x^{2}+y^{2})>0,
portanto o denominador é estritamente positivo e a função é bem definida e contínua em todo ponto diferente da origem. Conclusão parcial: f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Passo 3

Queremos agora ver se f é contínua em (0,0). Para isso precisamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
por definição de continuidade em várias variáveis: se esse limite existir e for igual a f(0,0)=2, então f é contínua em (0,0); caso contrário, não é.

Passo 4

Cálculo do limite em (0,0) usando coordenadas polares (ferramenta padrão e muito útil): escrevemos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge 0 e \theta qualquer. Para (x,y)\neq(0,0) temos r>0 e
\begin{aligned} f(x,y) &= \frac{2x^{3}+2y^{3}}{2x^{2}+2y^{2}} = \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\\[4pt] &= \frac{r^{3}\big(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta\big)}{r^{2}\big(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\big)} = r\cdot\frac{\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta}{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}. \end{aligned}
Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, isso simplifica para
f(r,\theta)=r\big(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta\big).]

Passo 5

Mostramos que esse valor tende a 0 quando r\to 0^{+}, independentemente de \theta. Para isso usamos uma desigualdade simples: para |u|\le 1 vale |u|^{3}\le |u|^{2}. Como |\cos\theta|\le1 e |\sin\theta|\le1, temos
\big|\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta\big|\le |\cos^{3}\theta|+|\sin^{3}\theta| \le \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
Logo
|f(r,\theta)| \le r\cdot 1 = r.
Pelo princípio do aperto (squeeze theorem), como r\to 0 implica r\to 0, segue que f(r,\theta)\to 0 quando r\to 0, para qualquer \theta. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 6

Comparando o limite com o valor declarado no enunciado, f(0,0)=2, vemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0 \neq 2=f(0,0).
Portanto f NÃO é contínua em (0,0). Juntando com a Passo 2, concluímos que f é contínua exatamente em todos os pontos (x,y)\neq(0,0).

Passo 7

Agora as derivadas parciais em (0,0). Lembrando a definição: a derivada parcial em x no ponto (0,0) é
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-2}{h},
se esse limite existir finito. Análogo para f_{y}(0,0) trocando a variável.

Passo 8

Calculamos f(h,0) para h\neq 0. Substituindo y=0 em \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} obtemos
f(h,0)=\frac{h^{3}+0}{h^{2}+0}=h\quad\text{para }h\neq 0.
Logo o quociente para f_{x}(0,0) é
\frac{f(h,0)-2}{h}=\frac{h-2}{h}=1-\frac{2}{h}.
Quando h\to 0^{+} a expressão 1-\dfrac{2}{h}\to -\infty e quando h\to 0^{-} ela tende a +\infty. Portanto o limite não existe (nem é finito). Conclusão: f_{x}(0,0) não existe.

Passo 9

Mesma conta para f_{y}(0,0). Para h\neq 0 temos f(0,h)=h. Então
\frac{f(0,h)-2}{h}=\frac{h-2}{h}=1-\frac{2}{h},
que também diverge quando h\to 0. Logo f_{y}(0,0) não existe.

Resposta

(a) f é contínua em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
(b) f_{x}(0,0) não existe; f_{y}(0,0) não existe.

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