Pede duas coisas:
a) Determinar os pontos onde f é contínua.
b) Verificar se as derivadas parciais \,f_{x}(0,0) e \,f_{y}(0,0) existem.
Informações relevantes que temos: a expressão para (x,y)\neq(0,0) é uma razão de polinômios, e o valor de f no ponto (0,0) foi definido como 2. A questão true/false sobre continuidade em cada ponto exige checar o limite quando (x,y)\to(0,0) e, para as derivadas parciais no origem, usar a definição limite do quociente incremental com a outra coordenada fixa.]
Passo 2
Continuidade em pontos (x,y)\neq(0,0).
Explicação didática: uma razão de polinômios é contínua onde o denominador não é zero, porque polinômios são funções contínuas e operações algébricas preservam continuidade (soma, produto, quociente quando denominador ≠ 0). Aqui, para (x,y)\neq(0,0) temos
2x^{2}+2y^{2}=2(x^{2}+y^{2})>0,
portanto o denominador é estritamente positivo e a função é bem definida e contínua em todo ponto diferente da origem. Conclusão parcial: f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Passo 3
Queremos agora ver se f é contínua em (0,0). Para isso precisamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
por definição de continuidade em várias variáveis: se esse limite existir e for igual a f(0,0)=2, então f é contínua em (0,0); caso contrário, não é.
Passo 4
Cálculo do limite em (0,0) usando coordenadas polares (ferramenta padrão e muito útil): escrevemos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge 0 e \theta qualquer. Para (x,y)\neq(0,0) temos r>0 e
Mostramos que esse valor tende a 0 quando r\to 0^{+}, independentemente de \theta. Para isso usamos uma desigualdade simples: para |u|\le 1 vale |u|^{3}\le |u|^{2}. Como |\cos\theta|\le1 e |\sin\theta|\le1, temos
Quando h\to 0^{+} a expressão 1-\dfrac{2}{h}\to -\infty e quando h\to 0^{-} ela tende a +\infty. Portanto o limite não existe (nem é finito). Conclusão: f_{x}(0,0) não existe.
Passo 9
Mesma conta para f_{y}(0,0). Para h\neq 0 temos f(0,h)=h. Então
\frac{f(0,h)-2}{h}=\frac{h-2}{h}=1-\frac{2}{h},
que também diverge quando h\to 0. Logo f_{y}(0,0) não existe.
Resposta
(a) f é contínua em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
(b) f_{x}(0,0) não existe; f_{y}(0,0) não existe.