Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime}+7 y=6 \delta(t-0), \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
y'(t)+7y(t)=6\delta(t-0),\qquad y(0)=2.
O que se pede implicitamente: encontrar a solução y(t) para todos os t, levando em conta a presença do impulso \delta(t-0) no instante t=0. Informações relevantes dadas:
  • Há um pulso (delta de Dirac) localizado em t=0: \delta(t-0).
  • A condição y(0)=2 é fornecida (vamos interpretar isto como o valor imediatamente antes do impulso, i.e. y(0^-)=2; essa é a interpretação padrão quando o impulso ocorre em t=0).
  • Para t\neq0 o termo de força é zero e a equação reduz-se à homogênea y'+7y=0.

Passo 2

Ideia geral e método: para t\neq0 a equação é homogênea, então a solução é exponencial. O impulso em t=0 pode causar uma descontinuidade instantânea em y. A estratégia:
  1. Determinar a forma geral da solução para t<0 e para t>0 (ambas são exponenciais).
  2. Usar a condição inicial y(0^-)=2 para fixar a constante para t<0.
  3. Integrar a equação em um intervalo pequeno que contenha t=0 para obter a condição de salto (jump) produzida pela \delta, e assim relacionar as constantes das duas regiões.
Antes de aplicar, mostro rapidamente por que a solução para t\neq0 é exponencial: considere a equação homogênea
y'(t)+7y(t)=0.
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem sem termo forçante. Pode-se separar variáveis ou usar fator integrante; separando:
\frac{y'}{y}=-7 \quad\Rightarrow\quad \frac{d y}{y}=-7\,dt.
Integrando,
\ln|y|=-7t+C \quad\Rightarrow\quad y=C_1 e^{-7t},
onde C_1 é constante (pode ser diferente à esquerda e à direita de t=0).

Passo 3

Escrevendo a solução geral peça a peça:
  • Para t<0: y(t)=A e^{-7t}.
  • Para t>0: y(t)=B e^{-7t}.
Agora uso a condição inicial. Pelo enunciado temos y(0)=2. Como há um impulso em t=0 que pode gerar um salto, a convenção usada aqui é tomar y(0^-)=2 (valor imediatamente antes de aplicar o impulso). Então
y(0^-)=A e^{-7\cdot 0}=A=2.
Logo A=2, e para t<0
y(t)=2e^{-7t},\qquad t<0.

Passo 4

Determinar o salto causado pelo \delta. Integro a equação original em um intervalo pequeno que contém 0, digamos de -\varepsilon a +\varepsilon, e depois faço \varepsilon\to0^+:
\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} \big(y'(t)+7y(t)\big)\,dt = \int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} 6\delta(t-0)\,dt.
O lado direito é fácil: \int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} 6\delta(t)\,dt =6 para \varepsilon>0. No lado esquerdo,
\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} y'(t)\,dt +7\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} y(t)\,dt = y(0^+)-y(0^-)+7\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} y(t)\,dt.
Quando \varepsilon\to0 a integral \int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} y(t)\,dt tende a zero (porque y é limitada), portanto o segundo termo desaparece no limite. Assim, passando ao limite,
y(0^+)-y(0^-)=6.
Já sabemos y(0^-)=2, então
y(0^+)=2+6=8.
Como para t>0 temos y(t)=B e^{-7t}, avaliando em t=0^+ B= y(0^+)=8. Portanto para t>0
y(t)=8 e^{-7t},\qquad t>0.

Passo 5

Resumo e interpretação: a solução é descontínua em t=0 devido ao impulso \delta(t-0). O valor antes do impulso é 2 (condição inicial dada) e o impulso adiciona 6 instantaneamente, produzindo y(0^+)=8. Para t\neq0 a solução segue a decaída exponencial com constante de decaimento 7.

Resposta

y(t)=\begin{cases} 2e^{-7t}, & t<0,\\[6pt] 8e^{-7t}, & t>0, \end{cases}]

Exercícios relacionados