Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
O que se pede implicitamente: encontrar a solução
para todos os
, levando em conta a presença do impulso
no instante
. Informações relevantes dadas:
- Há um pulso (delta de Dirac) localizado em
: . - A condição
é fornecida (vamos interpretar isto como o valor imediatamente antes do impulso, i.e. ; essa é a interpretação padrão quando o impulso ocorre em ). - Para
o termo de força é zero e a equação reduz-se à homogênea .
Passo 2
Ideia geral e método: para
a equação é homogênea, então a solução é exponencial. O impulso em
pode causar uma descontinuidade instantânea em
. A estratégia:
- Determinar a forma geral da solução para
e para (ambas são exponenciais). - Usar a condição inicial
para fixar a constante para . - Integrar a equação em um intervalo pequeno que contenha
para obter a condição de salto (jump) produzida pela , e assim relacionar as constantes das duas regiões.
Antes de aplicar, mostro rapidamente por que a solução para
é exponencial: considere a equação homogênea
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem sem termo forçante. Pode-se separar variáveis ou usar fator integrante; separando:
Integrando,
onde
é constante (pode ser diferente à esquerda e à direita de
).
Passo 3
Escrevendo a solução geral peça a peça:
- Para
: . - Para
: .
Agora uso a condição inicial. Pelo enunciado temos
. Como há um impulso em
que pode gerar um salto, a convenção usada aqui é tomar
(valor imediatamente antes de aplicar o impulso). Então
Logo
, e para
Passo 4
Determinar o salto causado pelo
. Integro a equação original em um intervalo pequeno que contém
, digamos de
a
, e depois faço
:
O lado direito é fácil:
para
. No lado esquerdo,
Quando
a integral
tende a zero (porque
é limitada), portanto o segundo termo desaparece no limite. Assim, passando ao limite,
Já sabemos
, então
Como para
temos
, avaliando em
dá
. Portanto para
Passo 5
Resumo e interpretação: a solução é descontínua em
devido ao impulso
. O valor antes do impulso é
(condição inicial dada) e o impulso adiciona
instantaneamente, produzindo
. Para
a solução segue a decaída exponencial com constante de decaimento
.