(3.0) Determine um operador diferencial linear que anule a função
. Em seguida, resolva a
pelo método do operador anulador.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede 1: determinar um operador diferencial linear que anule a função
(vou escrever em TeX como mas é a mesma função). - Pede 2: resolver a equação diferencial
pelo método do operador anulador.
Informações relevantes dadas:
- O lado direito (forçamento) é
. - O operador diferencial associado ao lado esquerdo é
, onde .
Passo 2
Ideia do operador anulador e escolha do operador que anula
.
Explicando a ideia (passo-a-passo, sem pular):
- Para funções da forma
(ou ), existe um operador diferencial simples que as anula: a regra é que é um anulador. Isso vem da propriedade de que substituir por transforma o operador em um polinômio do tipo , cujas raízes complexas são ; portanto a solução básica e é solução homogênea desse operador. - Aqui temos
e . Então um operador anulador é
- Expandindo em polinômio em
,
Verificação direta (mostrando que realmente anula):
- Seja
. Calculemos e explicitamente:
- Aplicando
em :
Logo
realmente anula
.
Passo 3
Como aplicar o método do operador anulador à equação dada (plano geral).
- Temos a equação original
- Como
anula o lado direito, aplicando esse operador em ambos os lados obtemos uma equação homogênea de ordem superior:
- Esse produto de operadores fornece uma EDO homogênea de ordem 4. A solução geral dessa EDO homogênea é a soma das soluções correspondentes a cada fator; nela aparece uma parte que corresponde ao anulador (essa parte será a forma geral do candidato a particular) e outra parte que corresponde ao operador original homogêneo (a parte complementar do problema original).
- Depois, para determinar os coeficientes da parte “vinda do anulador” (i.e. o candidato a solução particular), substituímos essa parte apenas na equação original (não na de ordem 4) e resolvemos para os coeficientes por comparação.
Vou executar esse plano passo a passo com contas claras e completas.
Passo 4
Resolver a EDO homogênea de ordem 4 obtida ao aplicar o anulador; obter a forma geral da solução do problema ampliado.
- O operador composto é
- As equações características dos fatores são:
- Para
: . - Para
: .
- Para
- Portanto as soluções elementares são
e . - A forma geral da solução da EDO homogênea de ordem 4 é combinação linear real dessas partes:
onde
são constantes arbitrárias.
Observação interpretativa do método do anulador:
- A parte
corresponde à solução homogênea da equação original . - A parte
corresponde à família de funções que o anulador gera; dentro dessa família estará a solução particular da equação original. Logo basta determinar e substituindo essa parte na equação original.
Passo 5
Determinar a solução particular substituindo o candidato
na equação original.
- Posso reutilizar derivadas como no Passo 2, mas agora com constantes
. Calculemos com cuidado:
Derivando uma vez (produto e regra da cadeia):
Derivando de novo:
Agrupando termos:
- Agora calcule o lado esquerdo
. Substituindo as expressões encontradas:
Fatorando
e somando coeficientes de
e
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Assim
- Queremos
. Portanto
Comparando coeficientes em
e
:
- Consequentemente a solução particular é
Passo 6
Escrever a solução geral da equação original e comentar.
- A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução geral da homogênea associada (
) com a solução particular ( ). - A solução homogênea (da equação
) já identificada corresponde ao fator com raízes :
com constantes
.
- Portanto a solução geral é
Pequena interpretação para a prova (resumo amistoso):
- O anulador de
é . - Aplicando-o obtém-se uma EDO homogênea de ordem 4 cujas soluções incluem tanto a parte homogênea original quanto a família que contém a solução particular; daí basta determinar os coeficientes comparando na equação original — e deu
.
Resposta
Operador anulador:
Solução geral:
onde
são constantes.