(3.0) Determine um operador diferencial linear que anule a função e^{x} \operatorname{sen} x. Em seguida, resolva a E D y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=e^{x} \operatorname{sen} x pelo método do operador anulador.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede 1: determinar um operador diferencial linear que anule a função \,e^{x}\operatorname{sen}x (vou escrever \sin em TeX como \sin mas é a mesma função).
  • Pede 2: resolver a equação diferencial
y''-2y'+5y = e^{x}\sin x
pelo método do operador anulador.
Informações relevantes dadas:
  • O lado direito (forçamento) é \,e^{x}\sin x.
  • O operador diferencial associado ao lado esquerdo é \,D^{2}-2D+5, onde \,D=\dfrac{d}{dx}.

Passo 2

Ideia do operador anulador e escolha do operador que anula \,e^{x}\sin x.
Explicando a ideia (passo-a-passo, sem pular):
  • Para funções da forma \,e^{ax}\sin(bx) (ou \,e^{ax}\cos(bx)), existe um operador diferencial simples que as anula: a regra é que \,(D-a)^{2}+b^{2} é um anulador. Isso vem da propriedade de que substituir D por r transforma o operador em um polinômio do tipo (r-a)^{2}+b^{2}, cujas raízes complexas são r=a\pm i b; portanto a solução básica \,e^{ax}\cos(bx) e \,e^{ax}\sin(bx) é solução homogênea desse operador.
  • Aqui temos a=1 e b=1. Então um operador anulador é
(D-1)^{2}+1.
  • Expandindo em polinômio em D,
(D-1)^{2}+1 = D^{2}-2D+1+1 = D^{2}-2D+2.
Verificação direta (mostrando que realmente anula):
  • Seja f(x)=e^{x}\sin x. Calculemos f' e f'' explicitamente:
f' = e^{x}(\sin x + \cos x), \qquad f'' = e^{x}(2\cos x).
  • Aplicando D^{2}-2D+2 em f:
f'' -2f' + 2f = e^{x}(2\cos x) -2e^{x}(\sin x+\cos x) + 2e^{x}\sin x =0.
Logo \,D^{2}-2D+2 realmente anula \,e^{x}\sin x.

Passo 3

Como aplicar o método do operador anulador à equação dada (plano geral).
  • Temos a equação original
(D^{2}-2D+5)y = e^{x}\sin x.
  • Como D^{2}-2D+2 anula o lado direito, aplicando esse operador em ambos os lados obtemos uma equação homogênea de ordem superior:
\bigl(D^{2}-2D+2\bigr)\bigl(D^{2}-2D+5\bigr)y = 0.
  • Esse produto de operadores fornece uma EDO homogênea de ordem 4. A solução geral dessa EDO homogênea é a soma das soluções correspondentes a cada fator; nela aparece uma parte que corresponde ao anulador (essa parte será a forma geral do candidato a particular) e outra parte que corresponde ao operador original homogêneo (a parte complementar do problema original).
  • Depois, para determinar os coeficientes da parte “vinda do anulador” (i.e. o candidato a solução particular), substituímos essa parte apenas na equação original (não na de ordem 4) e resolvemos para os coeficientes por comparação.
Vou executar esse plano passo a passo com contas claras e completas.

Passo 4

Resolver a EDO homogênea de ordem 4 obtida ao aplicar o anulador; obter a forma geral da solução do problema ampliado.
  • O operador composto é
\bigl(D^{2}-2D+2\bigr)\bigl(D^{2}-2D+5\bigr).
  • As equações características dos fatores são:
    • Para D^{2}-2D+2: r^{2}-2r+2=0 \Rightarrow r=1\pm i.
    • Para D^{2}-2D+5: r^{2}-2r+5=0 \Rightarrow r=1\pm 2i.
  • Portanto as soluções elementares são e^{(1\pm i)x}=e^{x}(\cos x\pm i\sin x) e e^{(1\pm 2i)x}=e^{x}(\cos 2x\pm i\sin 2x).
  • A forma geral da solução da EDO homogênea de ordem 4 é combinação linear real dessas partes:
y(x) = e^{x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr) + e^{x}\bigl(C\cos 2x + D\sin 2x\bigr),
onde A,B,C,D são constantes arbitrárias.
Observação interpretativa do método do anulador:
  • A parte e^{x}(C\cos 2x + D\sin 2x) corresponde à solução homogênea da equação original \,y''-2y'+5y=0.
  • A parte e^{x}(A\cos x + B\sin x) corresponde à família de funções que o anulador gera; dentro dessa família estará a solução particular da equação original. Logo basta determinar A e B substituindo essa parte na equação original.

Passo 5

Determinar a solução particular substituindo o candidato y_p=e^{x}(A\cos x + B\sin x) na equação original.
  • Posso reutilizar derivadas como no Passo 2, mas agora com constantes A,B. Calculemos y_p',y_p'' com cuidado:
y_p = e^{x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).
Derivando uma vez (produto e regra da cadeia):
y_p' = e^{x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr) + e^{x}\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr) = e^{x}\bigl((A+B)\cos x + (B-A)\sin x\bigr).
Derivando de novo:
y_p'' = e^{x}\bigl((A+B)\cos x + (B-A)\sin x\bigr) + e^{x}\bigl(-(A+B)\sin x + (B-A)\cos x\bigr).
Agrupando termos:
y_p'' = e^{x}\bigl(2B\cos x - 2A\sin x\bigr).
  • Agora calcule o lado esquerdo \,L[y_p]=y_p''-2y_p'+5y_p. Substituindo as expressões encontradas:
\begin{aligned} L[y_p] &= e^{x}\bigl(2B\cos x - 2A\sin x\bigr) -2e^{x}\bigl((A+B)\cos x + (B-A)\sin x\bigr) \\\ &\qquad{} +5e^{x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr). \end{aligned}
Fatorando e^{x} e somando coeficientes de \cos x e \sin x:
  • Coeficiente de \cos x:
2B -2(A+B) +5A = 2B -2A -2B +5A = 3A.
  • Coeficiente de \sin x:
-2A -2(B-A) +5B = -2A -2B +2A +5B = 3B.
Assim
L[y_p] = e^{x}\bigl(3A\cos x + 3B\sin x\bigr) = 3e^{x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).
  • Queremos L[y_p]=e^{x}\sin x. Portanto
3A\cos x + 3B\sin x = \sin x.
Comparando coeficientes em \cos x e \sin x:
3A = 0 \quad\Rightarrow\quad A=0, \qquad 3B = 1 \quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{1}{3}.
  • Consequentemente a solução particular é
y_p(x) = e^{x}\left(0\cdot\cos x + \tfrac{1}{3}\sin x\right) = \tfrac{1}{3}e^{x}\sin x.

Passo 6

Escrever a solução geral da equação original e comentar.
  • A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução geral da homogênea associada ( y_h) com a solução particular ( y_p).
  • A solução homogênea (da equação y''-2y'+5y=0) já identificada corresponde ao fator com raízes 1\pm 2i:
y_h(x) = e^{x}\bigl(C\cos 2x + D\sin 2x\bigr),
com constantes C,D.
  • Portanto a solução geral é
y(x) = e^{x}\bigl(C\cos 2x + D\sin 2x\bigr) + \tfrac{1}{3}e^{x}\sin x.
Pequena interpretação para a prova (resumo amistoso):
  • O anulador de \,e^{x}\sin x é \,(D-1)^{2}+1 = D^{2}-2D+2.
  • Aplicando-o obtém-se uma EDO homogênea de ordem 4 cujas soluções incluem tanto a parte homogênea original quanto a família que contém a solução particular; daí basta determinar os coeficientes comparando na equação original — e deu y_p=\tfrac{1}{3}e^{x}\sin x.

Resposta

Operador anulador: \;D^{2}-2D+2.
Solução geral: \;y(x)=e^{x}\bigl(C\cos 2x + D\sin 2x\bigr)+\tfrac{1}{3}e^{x}\sin x, onde C,D são constantes.

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