Calcule as seguintes integrais triplas:
I=\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z\right) d V, B=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leq 9,1 \leq z \leq 5\right\}.

Passo 1

O enunciado fornece a integral tripla
I=\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dV,
onde o domínio B é
B=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 9,\; 1\le z\le 5\}.
O que é pedido: calcular o valor numérico de I.
Informações relevantes dadas:
  • A região projetada no plano xy é o disco de raio 3: x^{2}+y^{2}\le 9.
  • A coordenada z varia entre 1 e 5.
  • A função a integrar é x^{2}+y^{2}+z.
  • A região é um cilindro reto com base circular (raio 3) e altura 5-1=4.

Passo 2

Escolha do método e conceito necessário (explicação didática).
  • Quando a região tem simetria circular no plano xy (aqui um disco), é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z).
  • Definição de coordenadas cilíndricas:
    • x = r\cos\theta,
    • y = r\sin\theta,
    • z = z (permanece igual).
    • Aqui r\ge 0 é a distância ao eixo z, e \theta é o ângulo polar no plano xy.
  • Jacobiano (fator de escala) ao passar de (x,y,z) para (r,\theta,z): dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
    • Intuição rápida: pequenos retângulos em (r,\theta) têm área aproximada r\,dr\,d\theta porque o arco tem comprimento r\,d\theta.
  • Conversão da função:
    • x^{2}+y^{2}=r^{2}.
    • Logo o integrando x^{2}+y^{2}+z vira r^{2}+z.
  • Portanto, na integral em coordenadas cilíndricas aparece o produto (r^{2}+z)\cdot r = r^{3}+zr dentro da integral.

Passo 3

Determinar os limites em coordenadas cilíndricas e montar a integral iterada.
  • Do disco x^{2}+y^{2}\le 9 segue 0\le r\le 3 e \theta percorre o círculo completo: 0\le \theta\le 2\pi.
  • Para z temos 1\le z\le 5.
  • Assim a integral fica
I=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3}\int_{z=1}^{5}\bigl(r^{2}+z\bigr)\,r\,dz\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{1}^{5}\bigl(r^{3}+zr\bigr)\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integrar em relação a z (primeira integração interna). Aqui r é tratado como constante.
  • Calcule a primitiva em z:
\int_{1}^{5}\bigl(r^{3}+zr\bigr)\,dz = \int_{1}^{5} r^{3}\,dz + \int_{1}^{5} z r\,dz.
  • A primeira parte: \int_{1}^{5} r^{3}\,dz = r^{3}\cdot (5-1) = 4r^{3}.
  • A segunda parte: \int_{1}^{5} z r\,dz = r\cdot\left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{1}^{5} = r\cdot\left(\tfrac{1}{2}(25-1)\right) = r\cdot 12 = 12r.
  • Somando:
\int_{1}^{5}\bigl(r^{3}+zr\bigr)\,dz = 4r^{3}+12r.

Passo 5

Integrar em relação a r (segunda integral interna).
  • Temos agora
\int_{0}^{3}\bigl(4r^{3}+12r\bigr)\,dr.
  • Calcule termos separadamente:
    • \int_{0}^{3}4r^{3}\,dr = 4\cdot\left[\tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{3} = \left[r^{4}\right]_{0}^{3} = 3^{4}-0 = 81.
    • \int_{0}^{3}12r\,dr = 12\cdot\left[\tfrac{1}{2}r^{2}\right]_{0}^{3} = 6\cdot(3^{2}-0) = 6\cdot 9 = 54.
  • Somando as duas partes:
\int_{0}^{3}\bigl(4r^{3}+12r\bigr)\,dr = 81 + 54 = 135.

Passo 6

Integrar em relação a \theta (última integração).
  • A integral restante é
\int_{0}^{2\pi} 135\,d\theta = 135\cdot\int_{0}^{2\pi} d\theta = 135\cdot(2\pi).
  • Portanto o valor da integral é 135\cdot 2\pi.

Resposta

270\pi

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