Calcule as seguintes integrais triplas:
.
Passo 1
O enunciado fornece a integral tripla
onde o domínio
é
O que é pedido: calcular o valor numérico de
.
Informações relevantes dadas:
- A região projetada no plano
é o disco de raio : . - A coordenada
varia entre e . - A função a integrar é
. - A região é um cilindro reto com base circular (raio
) e altura .
Passo 2
Escolha do método e conceito necessário (explicação didática).
- Quando a região tem simetria circular no plano
(aqui um disco), é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas . - Definição de coordenadas cilíndricas:
-
, -
, -
(permanece igual). - Aqui
é a distância ao eixo , e é o ângulo polar no plano .
-
- Jacobiano (fator de escala) ao passar de
para : . - Intuição rápida: pequenos retângulos em
têm área aproximada porque o arco tem comprimento .
- Intuição rápida: pequenos retângulos em
- Conversão da função:
-
. - Logo o integrando
vira .
-
- Portanto, na integral em coordenadas cilíndricas aparece o produto
dentro da integral.
Passo 3
Determinar os limites em coordenadas cilíndricas e montar a integral iterada.
- Do disco
segue e percorre o círculo completo: . - Para
temos . - Assim a integral fica
Passo 4
Integrar em relação a
(primeira integração interna). Aqui
é tratado como constante.
- Calcule a primitiva em
:
- A primeira parte:
. - A segunda parte:
. - Somando:
Passo 5
Integrar em relação a
(segunda integral interna).
- Temos agora
- Calcule termos separadamente:
-
- Somando as duas partes:
Passo 6
Integrar em relação a
(última integração).
- A integral restante é
- Portanto o valor da integral é
.