Resolva as seguintes equações diferenciais:
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e pede para resolver (ou seja, encontrar a solução geral
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação envolve
, e uma função conhecida de ( ). - Não foram fornecidas condições iniciais, então o objetivo é achar a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a equação numa forma padrão, colocando todos os termos do lado esquerdo:
Agora uma ideia importante (explicação didática): para equações lineares com coeficientes constantes, a solução geral é soma da solução da homogênea (solução complementar) e de uma solução particular. Em linguagem simples:
- A solução geral
= solução da parte homogênea uma solução que “cada” compensa a parte forçada (a fonte ).
Vou então:
- Resolver a equação homogênea associada
. - Encontrar uma solução particular
da equação completa. - Somar as duas para obter a solução geral.
Passo 3
Resolver a equação homogênea:
Procuramos soluções da forma
. Substituindo vem a equação característica:
Resolver essa equação algébrica:
Cada raiz distinta
dá uma solução
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Comentário didático:
, por isso aparece uma constante
.)
Passo 4
Agora achar uma solução particular
para
Explicando a escolha do “chute” (método dos coeficientes indeterminados): o termo à direita é trigonométrico
. Para essas fontes costuma-se tentar uma combinação de
e
. Assim proponho
onde
e
são constantes a determinar. (Observação importante para a prova: se
ou
já fosse solução da homogênea, teríamos que multiplicar por
; aqui a homogênea produz
e
, não trigonométricos, então não há ressonância e não multiplicamos por
.)
Passo 5
Calcular [y_p’) e
e substituir na equação para determinar
e
.
Derivadas de
:
Somando
:
Agrupando termos em
e
:
Queremos que isso seja igual a
, isto é
Comparando coeficientes de
e
obtemos o sistema linear para
e
:
Da primeira equação
.
Portanto a solução particular é
Passo 6
Construir a solução geral somando homogênea e particular:
com
constantes arbitrárias.
Breve verificação (opcional, mas útil para a prova): derivando essa
e substituindo em
obtém-se
, confirmando que a solução está correta.
Passo 7
Dicas úteis para a prova (resumo didático e prático):
- Sempre escreva a equação na forma padrão com todos os termos no lado esquerdo:
. - Resolver a homogênea com a equação característica
. - Para a particular, escolha um “chute” conforme a forma de
: polinômios, exponenciais, sen/cos e seus produtos. Se houver ressonância (o chute coincidir com solução da homogênea), multiplique por o número de vezes necessário. - Se houver condições iniciais, substitua-as no resultado final para determinar
e .