Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}=\operatorname{sen} x-y^{\prime};

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y''=\sin x-y'
e pede para resolver (ou seja, encontrar a solução geral y(x)).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve y'', y' e uma função conhecida de x ( \sin x).
  • Não foram fornecidas condições iniciais, então o objetivo é achar a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a equação numa forma padrão, colocando todos os termos do lado esquerdo:
y''+y'=\sin x.
Agora uma ideia importante (explicação didática): para equações lineares com coeficientes constantes, a solução geral é soma da solução da homogênea (solução complementar) e de uma solução particular. Em linguagem simples:
  • A solução geral y(x) = solução da parte homogênea + uma solução que “cada” compensa a parte forçada (a fonte \sin x).
    Vou então:
  1. Resolver a equação homogênea associada \;y''+y'=0\;.
  2. Encontrar uma solução particular y_p(x) da equação completa.
  3. Somar as duas para obter a solução geral.

Passo 3

Resolver a equação homogênea:
y''+y'=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo vem a equação característica:
r^2+r=0.
Resolver essa equação algébrica:
r(r+1)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \\ \text{ou}\\ r=-1.
Cada raiz distinta r dá uma solução e^{rx}. Assim a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{0\cdot x}+C_2 e^{-x}=C_1+C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. (Comentário didático: e^{0x}=1, por isso aparece uma constante C_1.)

Passo 4

Agora achar uma solução particular y_p(x) para
y''+y'=\sin x.
Explicando a escolha do “chute” (método dos coeficientes indeterminados): o termo à direita é trigonométrico \sin x. Para essas fontes costuma-se tentar uma combinação de \cos x e \sin x. Assim proponho
y_p(x)=A\cos x+B\sin x,
onde A e B são constantes a determinar. (Observação importante para a prova: se \cos x ou \sin x já fosse solução da homogênea, teríamos que multiplicar por x; aqui a homogênea produz 1 e e^{-x}, não trigonométricos, então não há ressonância e não multiplicamos por x.)

Passo 5

Calcular [y_p’) e y_p'' e substituir na equação para determinar A e B.
Derivadas de y_p:
y_p'(x)=-A\sin x+B\cos x,
y_p''(x)=-A\cos x-B\sin x.
Somando y_p''+y_p':
y_p''+y_p'=(-A\cos x-B\sin x)+(-A\sin x+B\cos x).
Agrupando termos em \cos x e \sin x:
y_p''+y_p'=(B-A)\cos x-(A+B)\sin x.
Queremos que isso seja igual a \sin x, isto é
(B-A)\cos x-(A+B)\sin x=\;0\cdot\cos x+1\cdot\sin x.
Comparando coeficientes de \cos x e \sin x obtemos o sistema linear para A e B:
\begin{cases} B-A=0,\\[4pt] -(A+B)=1. \end{cases}
Da primeira equação B=A\]. Substituindo na segunda: \[-(A+A)=1 \quad\Rightarrow\quad -2A=1 \quad\Rightarrow\quad A=-\dfrac{1}{2}.\] Então \(B=A=-\dfrac{1}{2}.
Portanto a solução particular é
y_p(x)=-\dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{1}{2}\sin x=-\dfrac{1}{2}\big(\cos x+\sin x\big).]

Passo 6

Construir a solução geral somando homogênea e particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1+C_2 e^{-x}-\dfrac{1}{2}\big(\cos x+\sin x\big),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.
Breve verificação (opcional, mas útil para a prova): derivando essa y e substituindo em y''+y' obtém-se \sin x, confirmando que a solução está correta.

Passo 7

Dicas úteis para a prova (resumo didático e prático):
  • Sempre escreva a equação na forma padrão com todos os termos no lado esquerdo: y''+p y'+q y = g(x).
  • Resolver a homogênea com a equação característica r^2+pr+q=0.
  • Para a particular, escolha um “chute” conforme a forma de g(x): polinômios, exponenciais, sen/cos e seus produtos. Se houver ressonância (o chute coincidir com solução da homogênea), multiplique por x o número de vezes necessário.
  • Se houver condições iniciais, substitua-as no resultado final para determinar C_1 e C_2.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-x}-\dfrac{1}{2}\big(\cos x+\sin x\big)

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