Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}=y^{\prime};

Passo 1

Enunciado: Resolver a equação diferencial
y''=y'.
O que o problema pede: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa igualdade para todo x.
Informações dadas: não há condições iniciais; a equação envolve a segunda derivada y'' e a primeira derivada y'.

Passo 2

Método clássico (tentativa exponencial). Vou procurar soluções da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é um número a determinar. A ideia: exponenciais são úteis porque derivar e^{r x} só multiplica por r, o que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para r. Agora calcule as derivadas e substitua na equação:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Substituindo em y''=y' obtemos
r^{2} e^{r x}=r e^{r x}.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{r x} e ficar com a equação característica
r^{2}=r.

Passo 3

Resolver a equação característica. Colocando tudo num lado:
r^{2}-r=0\quad\Rightarrow\quad r(r-1)=0.
Portanto as raízes são
r_{1}=0,\qquad r_{2}=1.
Como são duas raízes reais e distintas, as soluções independentes associadas são e^{0\cdot x}=1 e e^{1\cdot x}=e^{x}. A teoria (ou a observação prática de que combinações lineares funcionam) diz que a solução geral é a combinação linear dessas duas soluções:
y(x)=C_{1}\cdot 1 + C_{2} e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais. Para ficar mais enxuto:
y(x)=C_{1}+C_{2} e^{x},\qquad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Passo 4

Método alternativo (redução de ordem simples), para reforçar a ideia. Defina p(x)=y'(x). Então p'(x)=y''(x) e a equação dada vira
p'(x)=p(x).
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem simples, separável. Separando e integrando:
\frac{dp}{p}=dx \quad\Rightarrow\quad \ln|p|=x+K,
onde K é constante. Assim
p(x)=A e^{x},
com A=e^{K} constante positiva (podemos permitir A\in\mathbb{R} incluindo sinal). Como p=y', temos
y'(x)=A e^{x}.
Integrando mais uma vez:
y(x)=A e^{x}+B,
onde B é outra constante de integração. Isto coincide com a forma obtida antes, identificando C_{2}=A e C_{1}=B.

Passo 5

Verificação rápida (checagem). Se y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x} então
y'(x)=C_{2}e^{x},\qquad y''(x)=C_{2}e^{x},
logo y''=y' é satisfeita. Tudo correto.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x},\qquad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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