Resolva as seguintes equações diferenciais:
;
Passo 1
Enunciado: Resolver a equação diferencial
O que o problema pede: encontrar a solução geral
que satisfaça essa igualdade para todo
.
Informações dadas: não há condições iniciais; a equação envolve a segunda derivada e a primeira derivada
.
Informações dadas: não há condições iniciais; a equação envolve a segunda derivada
Passo 2
Método clássico (tentativa exponencial). Vou procurar soluções da forma
onde
é um número a determinar. A ideia: exponenciais são úteis porque derivar
só multiplica por
, o que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para
. Agora calcule as derivadas e substitua na equação:
Substituindo em
obtemos
Como
para todo
, podemos dividir por
e ficar com a equação característica
Passo 3
Resolver a equação característica. Colocando tudo num lado:
Portanto as raízes são
Como são duas raízes reais e distintas, as soluções independentes associadas são
e
. A teoria (ou a observação prática de que combinações lineares funcionam) diz que a solução geral é a combinação linear dessas duas soluções:
onde
e
são constantes arbitrárias reais. Para ficar mais enxuto:
Passo 4
Método alternativo (redução de ordem simples), para reforçar a ideia. Defina
. Então
e a equação dada vira
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem simples, separável. Separando e integrando:
onde
é constante. Assim
com
constante positiva (podemos permitir
incluindo sinal). Como
, temos
Integrando mais uma vez:
onde
é outra constante de integração. Isto coincide com a forma obtida antes, identificando
e
.
Passo 5
Verificação rápida (checagem). Se
então
logo
é satisfeita. Tudo correto.