Resolva as seguintes equações diferencias.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
onde
é a função desconhecida e
. O pedido é resolver essa equação, ou seja, encontrar a família de funções
que satisfazem essa igualdade. Vou considerar inicialmente
(pois em alguns passos vou dividir por
); depois trato possíveis casos especiais.
Informações relevantes dadas:
- A equação relaciona
, e . - Aparecem produtos do tipo
e potências de . - Espera-se uma constante de integração após integrar.
Passo 2
Primeiro simplifico dividindo tudo por
para ficar mais claro:
Agora observo que
é exatamente a derivada do produto
pela regra do produto. Explico isso com calma: pela regra do produto,
Portanto a expressão da equação pode ser reescrita como
Isso é útil porque transformou a combinação mista
em uma única derivada.
Passo 3
Faço a substituição conveniente para simplificar ainda mais. Defino a nova função
Pelo passo anterior sabemos que
Assim a equação fica simplesmente
Agora preciso expressar
em termos de
e
para obter uma equação só em
e
.
Passo 4
Como
, temos
então
Substituindo em
obtemos
Multiplicando ambos os lados por
dá
Passo 5
A equação
é separável. Separar significa colocar todos os termos em
do lado esquerdo e os termos em
do lado direito:
Agora integro ambos os lados em relação às suas variáveis.
Passo 6
Calculo as integrais:
Posso recolher as constantes numa só; subtraindo os dois lados e agrupando a constante de integração
obtenho
Multiplicando por
para simplificar os coeficientes,
ou, de forma mais prática (renomeando a constante),
Passo 7
Agora volto à variável original
. Como
, temos
Se
, divido por
para isolar
:
Tomando a raiz cúbica (lembrando que a raiz cúbica de um número real é sempre real), obtenho a solução geral
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Verificação rápida do caso especial
: para
obtemos
, ou seja
, que é uma solução constante. De fato, se
é constante com
então
e
logo satisfaz a equação para todo
. Para
a fórmula exige
(há singularidade em
).
Passo 9
Resumo dos aspectos de domínio e constantes:
- A família geral de soluções é dada por
com . - Para
a solução é constante e válida para todo . - Para
a solução está definida para (pois aparece ).