Resolva as seguintes equações diferencias.
3 x y^{2} y^{\prime}+3 y^{3}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
3 x y^{2} y^{\prime}+3 y^{3}=1,
onde y=y(x) é a função desconhecida e y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}. O pedido é resolver essa equação, ou seja, encontrar a família de funções y(x) que satisfazem essa igualdade. Vou considerar inicialmente x\neq 0 (pois em alguns passos vou dividir por x); depois trato possíveis casos especiais.
Informações relevantes dadas:
  • A equação relaciona x, y e y^{\prime}.
  • Aparecem produtos do tipo x y^{\prime} e potências de y.
  • Espera-se uma constante de integração após integrar.

Passo 2

Primeiro simplifico dividindo tudo por 3 para ficar mais claro:
x y^{2} y^{\prime}+y^{3}=\tfrac{1}{3}.
Agora observo que x y^{\prime}+y é exatamente a derivada do produto x y pela regra do produto. Explico isso com calma: pela regra do produto,
\frac{d}{dx}(x y)=x\frac{dy}{dx}+y = x y^{\prime}+y.
Portanto a expressão da equação pode ser reescrita como
y^{2}\,\frac{d}{dx}(x y)=\tfrac{1}{3}.
Isso é útil porque transformou a combinação mista x y^{\prime}+y em uma única derivada.

Passo 3

Faço a substituição conveniente para simplificar ainda mais. Defino a nova função
u(x)=x\,y(x).
Pelo passo anterior sabemos que
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(x y)=x y^{\prime}+y.
Assim a equação fica simplesmente
y^{2}\,\frac{du}{dx}=\tfrac{1}{3}.
Agora preciso expressar y em termos de u e x para obter uma equação só em u e x.

Passo 4

Como u=x y, temos
y=\frac{u}{x}\quad\text{(desde que \(x\neq 0\))},
então
y^{2}=\frac{u^{2}}{x^{2}}.
Substituindo em y^{2}\dfrac{du}{dx}=\tfrac{1}{3} obtemos
\frac{u^{2}}{x^{2}}\frac{du}{dx}=\tfrac{1}{3}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}
u^{2}\frac{du}{dx}=\frac{x^{2}}{3}.

Passo 5

A equação u^{2}\dfrac{du}{dx}=\dfrac{x^{2}}{3} é separável. Separar significa colocar todos os termos em u do lado esquerdo e os termos em x do lado direito:
u^{2}\,du=\frac{x^{2}}{3}\,dx.
Agora integro ambos os lados em relação às suas variáveis.

Passo 6

Calculo as integrais:
\int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3}+C_{1}, \qquad \int\frac{x^{2}}{3}\,dx=\frac{x^{3}}{9}+C_{2}.
Posso recolher as constantes numa só; subtraindo os dois lados e agrupando a constante de integração C obtenho
\frac{u^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{9}+C.
Multiplicando por 9 para simplificar os coeficientes,
3u^{3}=x^{3}+C',
ou, de forma mais prática (renomeando a constante),
u^{3}=\frac{x^{3}}{3}+C.

Passo 7

Agora volto à variável original y. Como u=x y, temos
(x y)^{3}=\frac{x^{3}}{3}+C.
Se x\neq 0, divido por x^{3} para isolar y^{3}:
y^{3}=\frac{1}{3}+\frac{C}{x^{3}}.
Tomando a raiz cúbica (lembrando que a raiz cúbica de um número real é sempre real), obtenho a solução geral
y(x)=\left(\frac{1}{3}+\frac{C}{x^{3}}\right)^{1/3},
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Verificação rápida do caso especial C=0: para C=0 obtemos y^{3}=\tfrac{1}{3}, ou seja y=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{1/3}, que é uma solução constante. De fato, se y é constante com y^{3}=\tfrac{1}{3} então y^{\prime}=0 e
3x y^{2} y^{\prime}+3y^{3}=0+3\cdot\frac{1}{3}=1,
logo satisfaz a equação para todo x. Para C\neq 0 a fórmula exige x\neq 0 (há singularidade em x=0).

Passo 9

Resumo dos aspectos de domínio e constantes:
  • A família geral de soluções é dada por y(x)=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{C}{x^{3}}\right)^{1/3} com C\in\mathbb{R}.
  • Para C=0 a solução é constante e válida para todo x.
  • Para C\neq 0 a solução está definida para x\neq 0 (pois aparece x^{-3}).

Resposta

y(x)=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{C}{x^{3}}\right)^{1/3},\qquad C\in\mathbb{R} (válida para x\neq 0; para C=0 estende-se a todo x).

Exercícios relacionados