Resolva as seguintes equações diferencias.
y^{\prime}+y=x y^{\frac{2}{3}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'+y = x\,y^{\tfrac{2}{3}}.
O que se quer é a solução geral y(x). Informação importante dada: a equação relaciona y' (derivada de y) com potências de y e um fator x. Não há outras condições iniciais fornecidas, então iremos encontrar a família de soluções com constante arbitrária. Também é relevante notar que y\equiv 0 é candidata a solução (vou verificar isso depois).

Passo 2

Observação e estratégia (explicação didática passo a passo): a presença de y^{\tfrac{2}{3}} sugere usar a substituição que reduza a potência fracionária. Uma boa escolha é tomar a raiz cúbica de y. Defina
u = y^{\tfrac{1}{3}}.
Isso implica que y = u^3. Agora calculamos a derivada y' em função de u e u'. Como y = u^3, pela regra da cadeia:
y' = \frac{d}{dx}(u^3) = 3 u^2 u'.
Comentário didático: aqui usei que derivada de u^3 em relação a x é 3u^2 vezes u' (derivada de u em relação a x). Essa troca é válida mesmo se y for negativa, pois a raiz cúbica real existe para todo número real.

Passo 3

Substituir y e y' na equação original. A equação
y'+y = x\,y^{\tfrac{2}{3}}
fica, usando y= u^3 e y'=3u^2 u',
3u^2 u' + u^3 = x\,u^2.
Agora simplificamos dividindo por u^2. Atenção: dividir por u^2 exige considerar separadamente o caso u\equiv 0 (que equivale a y\equiv 0); esse caso será tratado no final. Para u\neq 0 temos
3 u' + u = x.

Passo 4

Resolver a equação linear obtida para u. Escrever em forma padrão:
u' + \tfrac{1}{3}u = \tfrac{x}{3}.
Explicação do método: é uma equação linear de primeira ordem u' + p(x)u = g(x); resolvemos usando fator integrante. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\left(\int \tfrac{1}{3}\,dx\right) = e^{x/3}.
Multiplicando a equação pelo fator integrante:
e^{x/3} u' + \tfrac{1}{3} e^{x/3} u = \tfrac{x}{3} e^{x/3}.
O lado esquerdo é a derivada do produto u e^{x/3}, ou seja
\frac{d}{dx}\!\big(u e^{x/3}\big) = \tfrac{x}{3} e^{x/3}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
u e^{x/3} = \int \tfrac{x}{3} e^{x/3}\,dx + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle \int \tfrac{x}{3} e^{x/3}\,dx. Uma forma direta é fazer a substituição t=\tfrac{x}{3}, de modo que x=3t e dx=3dt. Então
\int \tfrac{x}{3} e^{x/3}\,dx = \int t e^{t}\cdot 3\,dt = 3\int t e^{t}\,dt.
Integrando por partes (ou pela fórmula conhecida \int t e^{t} dt = e^{t}(t-1)), obtemos
3\int t e^{t}\,dt = 3 e^{t}(t-1) + C = 3 e^{x/3}\big(\tfrac{x}{3}-1\big) + C = e^{x/3}(x-3) + C.
Portanto,
u e^{x/3} = e^{x/3}(x-3) + C.
Dividindo por e^{x/3},
u = x - 3 + C e^{-x/3}.

Passo 6

Voltar à variável y. Lembrando que u = y^{1/3}, temos
y^{1/3} = x - 3 + C e^{-x/3}.
Elevando ao cubo ambos os lados (explicando: a função t\mapsto t^3 é bijetora nos reais, portanto podemos elevar ao cubo sem perder soluções),
y(x) = \big(x - 3 + C e^{-x/3}\big)^3,
onde C é constante arbitrária real.
Além disso, lembrar do caso que excluímos ao dividir por u^2: se u\equiv 0 então y\equiv 0. Verificação rápida: substituir y\equiv 0 na equação original dá 0+0 = x\cdot 0, ou seja 0=0, então y\equiv 0 é realmente solução. A solução geral encontrada por substituição não produz a solução identicamente zero para nenhum valor fixo de C, por isso é listada separadamente.

Passo 7

Comentários finais e sobre domínio: como usamos raiz cúbica, a solução em forma cúbica acima é válida para y reais (a raiz cúbica real existe para números negativos também). A solução encontrada representa a família geral de soluções não-identicamente nulas; a solução nula y\equiv 0 é a solução trivial adicional.

Resposta

y(x)=\big(x-3+C\,e^{-x/3}\big)^3
y(x)\equiv 0

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