Resolva as seguintes equações diferencias.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
O que se quer é a solução geral
. Informação importante dada: a equação relaciona
(derivada de
) com potências de
e um fator
. Não há outras condições iniciais fornecidas, então iremos encontrar a família de soluções com constante arbitrária. Também é relevante notar que
é candidata a solução (vou verificar isso depois).
Passo 2
Observação e estratégia (explicação didática passo a passo): a presença de
sugere usar a substituição que reduza a potência fracionária. Uma boa escolha é tomar a raiz cúbica de
. Defina
Isso implica que
. Agora calculamos a derivada
em função de
e
. Como
, pela regra da cadeia:
Comentário didático: aqui usei que derivada de
em relação a
é
vezes
(derivada de
em relação a
). Essa troca é válida mesmo se
for negativa, pois a raiz cúbica real existe para todo número real.
Passo 3
Substituir
e
na equação original. A equação
fica, usando
e
,
Agora simplificamos dividindo por
. Atenção: dividir por
exige considerar separadamente o caso
(que equivale a
); esse caso será tratado no final. Para
temos
Passo 4
Resolver a equação linear obtida para
. Escrever em forma padrão:
Explicação do método: é uma equação linear de primeira ordem
; resolvemos usando fator integrante. O fator integrante é
Multiplicando a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, ou seja
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Calcular a integral
. Uma forma direta é fazer a substituição
, de modo que
e
. Então
Integrando por partes (ou pela fórmula conhecida
), obtemos
Portanto,
Dividindo por
,
Passo 6
Voltar à variável
. Lembrando que
, temos
Elevando ao cubo ambos os lados (explicando: a função
é bijetora nos reais, portanto podemos elevar ao cubo sem perder soluções),
onde
é constante arbitrária real.
Além disso, lembrar do caso que excluímos ao dividir por
: se
então
. Verificação rápida: substituir
na equação original dá
, ou seja
, então
é realmente solução. A solução geral encontrada por substituição não produz a solução identicamente zero para nenhum valor fixo de
, por isso é listada separadamente.
Passo 7
Comentários finais e sobre domínio: como usamos raiz cúbica, a solução em forma cúbica acima é válida para
reais (a raiz cúbica real existe para números negativos também). A solução encontrada representa a família geral de soluções não-identicamente nulas; a solução nula
é a solução trivial adicional.