Resolva as seguintes equações diferencias.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Resolver a equação diferencial para
:
- Não há condições iniciais dadas, então queremos a solução geral.
- Observações importantes que vêm do enunciado:
- Aparecem potências fracionárias de
e de , portanto devemos ter cuidado com o domínio; tipicamente trabalharemos com para que seja real e bem definido. - A equação é não linear por causa do termo
.
- Aparecem potências fracionárias de
- Pergunta explícita: encontrar a família de soluções gerais
.
Passo 2
Ideia de transformação (motivo didático): o RHS contém
. Isso sugere tentar uma troca que elimine a raiz. Faça a substituição
onde
é uma função a determinar. Aqui
pode ser positiva ou negativa; a relação
garante
. Vamos calcular
em função de
usando a regra da cadeia:
Substituímos
e
na equação dada.
Passo 3
Substituição na equação:
Se reorganizarmos e dividirmos por
(precisamos considerar separadamente o caso
, que corresponde a
; assumimos por enquanto
):
Agora temos uma equação linear de primeira ordem em
:
com
e
.
Passo 4
Resolver a equação linear por fator integrante (explicando o método):
- A fórmula do fator integrante: para
, o fator integrante é
- Aqui
. Calculamos
considerando
.
- Multiplicamos a equação por
. O lado esquerdo passa a ser a derivada do produto :
- Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolar
e escrever a solução geral para
:
Aqui
é constante arbitrária. Reforçando: esse cálculo assumiu
para usar
.
Passo 6
Voltar à variável original
usando
:
Opcionalmente expandindo para uma forma mais explícita:
Ambas as formas representam a mesma família de soluções (para
).
Passo 7
Soluções singulares e domínio:
- O caso que excluímos ao dividir por
foi . Isso corresponde a . Verificamos diretamente na equação original: se então e ambos os termos da equação são zero, logo é solução válida. Portanto incluir como solução especial. - Domínio: as expressões usam
, então a solução real mais natural é para . Para teríamos que trabalhar com raízes reais de sinais e definir potência fracionária de (em geral problema), então deixamos a solução no domínio .