Resolva as seguintes equações diferencias.
y^{\prime}+\frac{1}{x} y=2 x^{3 / 2} y^{\frac{1}{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Resolver a equação diferencial para y=y(x):
y^{\prime}+\frac{1}{x}y=2x^{3/2}y^{1/2}.
  • Não há condições iniciais dadas, então queremos a solução geral.
  • Observações importantes que vêm do enunciado:
    • Aparecem potências fracionárias de x e de y, portanto devemos ter cuidado com o domínio; tipicamente trabalharemos com x>0 para que x^{1/2} seja real e bem definido.
    • A equação é não linear por causa do termo y^{1/2}.
  • Pergunta explícita: encontrar a família de soluções gerais y(x).

Passo 2

Ideia de transformação (motivo didático): o RHS contém y^{1/2}. Isso sugere tentar uma troca que elimine a raiz. Faça a substituição
y = u^{2},
onde u=u(x) é uma função a determinar. Aqui u pode ser positiva ou negativa; a relação y=u^{2} garante y\ge 0. Vamos calcular y' em função de u usando a regra da cadeia:
y' = \frac{d}{dx}(u^{2}) = 2u\,u'.
Substituímos y e y' na equação dada.

Passo 3

Substituição na equação:
2u\,u' + \frac{1}{x}u^{2} = 2x^{3/2}u.
Se reorganizarmos e dividirmos por 2u (precisamos considerar separadamente o caso u\equiv 0, que corresponde a y\equiv 0; assumimos por enquanto u\neq 0):
u' + \frac{1}{2x}u = x^{3/2}.
Agora temos uma equação linear de primeira ordem em u: u' + p(x)u = q(x) com p(x)=\dfrac{1}{2x} e q(x)=x^{3/2}.

Passo 4

Resolver a equação linear por fator integrante (explicando o método):
  • A fórmula do fator integrante: para u' + p(x)u = q(x), o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
  • Aqui p(x)=\dfrac{1}{2x}. Calculamos
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{2x}\,dx\right)=\exp\!\left(\tfrac{1}{2}\ln x\right)=x^{1/2},
considerando x>0.
  • Multiplicamos a equação por \mu(x). O lado esquerdo passa a ser a derivada do produto \mu(x)u(x):
\big(x^{1/2}u\big)' = x^{1/2}\cdot x^{3/2} = x^{2}.
  • Integramos ambos os lados em x:
x^{1/2}u = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolar u e escrever a solução geral para u:
u(x)=x^{-1/2}\left(\frac{x^{3}}{3}+C\right)=\frac{1}{3}x^{5/2}+C x^{-1/2}.
Aqui C\in\mathbb{R} é constante arbitrária. Reforçando: esse cálculo assumiu x>0 para usar x^{1/2}.

Passo 6

Voltar à variável original y usando y=u^{2}:
y(x)=\left(\frac{1}{3}x^{5/2}+C x^{-1/2}\right)^{2}.
Opcionalmente expandindo para uma forma mais explícita:
y(x)=\frac{1}{9}x^{5}+\frac{2C}{3}x^{2}+C^{2}x^{-1}.
Ambas as formas representam a mesma família de soluções (para x>0).

Passo 7

Soluções singulares e domínio:
  • O caso que excluímos ao dividir por u foi u\equiv 0. Isso corresponde a y\equiv 0. Verificamos diretamente na equação original: se y\equiv 0 então y'=0 e ambos os termos da equação são zero, logo y\equiv 0 é solução válida. Portanto incluir como solução especial.
  • Domínio: as expressões usam x^{\pm 1/2}, então a solução real mais natural é para x>0. Para x<0 teríamos que trabalhar com raízes reais de sinais e definir potência fracionária de x (em geral problema), então deixamos a solução no domínio x>0.

Resposta

y(x)=\left(\dfrac{1}{3}x^{5/2}+C x^{-1/2}\right)^{2},\\ C\in\mathbb{R}
y(x)\equiv 0

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