Resolva as seguintes equações:
a)
\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=3
b)
\frac{3 x}{4}-\frac{x}{3}=5
c)
\frac{x}{5}-1=9
d)
\frac{x}{3}-5=0
e)
\frac{x}{2}+\frac{3 x}{5}=6
f)
\frac{x}{5}+\frac{x}{2}=\frac{7}{10}
g)
5 x-10=\frac{x+1}{2}
h)
\frac{8 x-1}{2}-2 x=3
i)
\frac{2 x-7}{5}=\frac{x+2}{3}
j)
\frac{5 x}{2}=2 x+\frac{x-2}{3}
k)
\frac{x-3}{4}-\frac{2 x-1}{5}=5
m)
\frac{5 x-7}{2}=\frac{1}{2}+x
n)
\frac{2 x-1}{3}=x-\frac{x-1}{5}
o)
\frac{x}{4}+\frac{3 x-2}{2}=\frac{x-3}{2}
p)
\frac{2(x-1)}{3}=\frac{3 x+6}{5}
q)
\frac{3(x-5)}{6}+\frac{2 x}{4}=7
I)
\frac{x-1}{2}+\frac{x-3}{3}=6
r)
\frac{x}{5}-2=\frac{5(x-3)}{4}

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver para a incógnita x cada uma das equações listadas (a) até ®).\n
Lista das equações dadas:
\text{(a)}\;\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=3
\text{(b)}\;\frac{3x}{4}-\frac{x}{3}=5
\text{\text{(c)}}\;\frac{x}{5}-1=9
\text{(d)}\;\frac{x}{3}-5=0
\text{(e)}\;\frac{x}{2}+\frac{3x}{5}=6
\text{(f)}\;\frac{x}{5}+\frac{x}{2}=\frac{7}{10}
\text{(g)}\;5x-10=\frac{x+1}{2}
\text{(h)}\;\frac{8x-1}{2}-2x=3
\text{(i)}\;\frac{2x-7}{5}=\frac{x+2}{3}
\text{(j)}\;\frac{5x}{2}=2x+\frac{x-2}{3}
\text{(k)}\;\frac{x-3}{4}-\frac{2x-1}{5}=5
\text{(m)}\;\frac{5x-7}{2}=\frac{1}{2}+x
\text{(n)}\;\frac{2x-1}{3}=x-\frac{x-1}{5}
\text{(o)}\;\frac{x}{4}+\frac{3x-2}{2}=\frac{x-3}{2}
\text{(p)}\;\frac{2(x-1)}{3}=\frac{3x+6}{5}
\text{(q)}\;\frac{3(x-5)}{6}+\frac{2x}{4}=7
\text{(I)}\;\frac{x-1}{2}+\frac{x-3}{3}=6
\text{(r)}\;\frac{x}{5}-2=\frac{5(x-3)}{4}
Informações relevantes: cada equação é linear em x (não há x^2, produtos x\cdot x, etc.). A meta é isolar x. Não começamos a resolver ainda; agora vamos proceder equação por equação.

Passo 2

Resolvendo (a) \displaystyle \frac{x}{4}-\frac{x}{6}=3.\n
Estratégia didática: quando aparece soma ou diferença de frações com a mesma incógnita, uma maneira eficiente é eliminar denominadores multiplicando ambos os lados pelo mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. O MMC de 4 e 6 é 12 (é o menor número divisível por ambos).\n
Multiplicando a equação por 12 obtemos:
12\cdot\frac{x}{4}-12\cdot\frac{x}{6}=12\cdot 3.
Agora simplificamos cada termo: 12\cdot\frac{x}{4}=3x, 12\cdot\frac{x}{6}=2x, e 12\cdot 3=36. Então
3x-2x=36.
Combinar termos semelhantes dá x=36. Portanto solução: x=36.

Passo 3

Resolvendo (b) \displaystyle \frac{3x}{4}-\frac{x}{3}=5.\n
MMC de 4 e 3 é 12. Multiplicando ambos os lados por 12:
12\cdot\frac{3x}{4}-12\cdot\frac{x}{3}=12\cdot 5.
Simplificando: 12\cdot\frac{3x}{4}=9x, 12\cdot\frac{x}{3}=4x, 12\cdot5=60. Então
9x-4x=60.
Logo 5x=60 e isolando x temos x=12.

Passo 4

Resolvendo (c) \displaystyle \frac{x}{5}-1=9.\n
Primeiro, isolamos a fração somando 1 aos dois lados:
\frac{x}{5}=9+1.
Portanto \frac{x}{5}=10. Para tirar o denominador 5, multiplicamos ambos os lados por 5:
x=50.

Passo 5

Resolvendo (d) \displaystyle \frac{x}{3}-5=0.\n
Isolamos a fração somando 5 aos dois lados:
\frac{x}{3}=5.
Multiplicando por 3 obtemos x=15.

Passo 6

Resolvendo (e) \displaystyle \frac{x}{2}+\frac{3x}{5}=6.\n
MMC de 2 e 5 é 10. Multiplicando por 10:
10\cdot\frac{x}{2}+10\cdot\frac{3x}{5}=10\cdot 6.
Simplificando: 10\cdot\frac{x}{2}=5x, 10\cdot\frac{3x}{5}=6x, 10\cdot6=60. Logo
5x+6x=60.
Assim 11x=60 e x=\frac{60}{11}.

Passo 7

Resolvendo (f) \displaystyle \frac{x}{5}+\frac{x}{2}=\frac{7}{10}.\n
MMC de 5 e 2 é 10. Multiplicamos toda a equação por 10:
10\cdot\frac{x}{5}+10\cdot\frac{x}{2}=10\cdot\frac{7}{10}.
Isso dá 2x+5x=7. Portanto 7x=7 e logo x=1.

Passo 8

Resolvendo (g) \displaystyle 5x-10=\frac{x+1}{2}.\n
Temos um denominador 2 isolado no lado direito; multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar:
2(5x-10)=x+1.
Aplicando a distributiva à esquerda: 10x-20=x+1. Subtraindo x de ambos os lados: 9x-20=1. Somando 20: 9x=21. Dividindo por 9: x=\frac{21}{9}=\frac{7}{3}.

Passo 9

Resolvendo (h) \displaystyle \frac{8x-1}{2}-2x=3.\n
MMC aqui é 2. Multiplicando por 2:
2\cdot\frac{8x-1}{2}-2\cdot 2x=2\cdot 3.
Simplificando: 8x-1-4x=6. Então 4x-1=6. Somando 1: 4x=7. Logo x=\frac{7}{4}.

Passo 10

Resolvendo (i) \displaystyle \frac{2x-7}{5}=\frac{x+2}{3}.\n
Quando duas frações são iguais, usamos a multiplicação em cruz (ou multiplicamos ambos os lados pelo MMC). MMC de 5 e 3 é 15. Multiplicando por 15:
15\cdot\frac{2x-7}{5}=15\cdot\frac{x+2}{3}.
Isso dá 3(2x-7)=5(x+2). Desenvolvendo os parênteses: 6x-21=5x+10. Subtraindo 5x: x-21=10. Somando 21: x=31.

Passo 11

Resolvendo (j) \displaystyle \frac{5x}{2}=2x+\frac{x-2}{3}.\n
MMC de 2 e 3 é 6. Multiplicando por 6:
6\cdot\frac{5x}{2}=6\cdot 2x+6\cdot\frac{x-2}{3}.
Simplificando: 15x=12x+2(x-2). Desenvolvendo 2(x-2): 15x=12x+2x-4. Então 15x=14x-4. Subtraindo 14x: x=-4.

Passo 12

Resolvendo (k) \displaystyle \frac{x-3}{4}-\frac{2x-1}{5}=5.\n
MMC de 4 e 5 é 20. Multiplicando por 20:
20\cdot\frac{x-3}{4}-20\cdot\frac{2x-1}{5}=20\cdot 5.
Simplificando: 5(x-3)-4(2x-1)=100. Desenvolvendo: 5x-15-8x+4=100. Agrupando termos: -3x-11=100. Adicionando 11: -3x=111. Dividindo por -3: x=-37.

Passo 13

Resolvendo (m) \displaystyle \frac{5x-7}{2}=\frac{1}{2}+x.\n
Multiplicamos por 2 para eliminar denominadores:
2\cdot\frac{5x-7}{2}=2\cdot\frac{1}{2}+2x.
Isso dá 5x-7=1+2x. Subtraindo 2x: 3x-7=1. Somando 7: 3x=8. Portanto x=\frac{8}{3}.

Passo 14

Resolvendo (n) \displaystyle \frac{2x-1}{3}=x-\frac{x-1}{5}.\n
MMC de 3 e 5 é 15. Multiplicando por 15:
15\cdot\frac{2x-1}{3}=15x-15\cdot\frac{x-1}{5}.
Simplificando: 5(2x-1)=15x-3(x-1). Desenvolvendo: 10x-5=15x-3x+3. Então 10x-5=12x+3. Subtraindo 10x: -5=2x+3. Subtraindo 3: -8=2x. Dividindo por 2: x=-4.

Passo 15

Resolvendo (o) \displaystyle \frac{x}{4}+\frac{3x-2}{2}=\frac{x-3}{2}.\n
MMC de 4 e 2 é 4. Multiplicando por 4:
4\cdot\frac{x}{4}+4\cdot\frac{3x-2}{2}=4\cdot\frac{x-3}{2}.
Simplificando: x+2(3x-2)=2(x-3). Desenvolvendo: x+6x-4=2x-6. Agrupando: 7x-4=2x-6. Subtraindo 2x: 5x-4=-6. Somando 4: 5x=-2. Logo x=-\frac{2}{5}.

Passo 16

Resolvendo § \displaystyle \frac{2(x-1)}{3}=\frac{3x+6}{5}.\n
MMC de 3 e 5 é 15. Multiplicando por 15:
15\cdot\frac{2(x-1)}{3}=15\cdot\frac{3x+6}{5}.
Simplificando: 5\cdot 2(x-1)=3(3x+6). Então 10(x-1)=9x+18. Desenvolvendo: 10x-10=9x+18. Subtraindo 9x: x-10=18. Somando 10: x=28.

Passo 17

Resolvendo (q) \displaystyle \frac{3(x-5)}{6}+\frac{2x}{4}=7.\n
Primeiro simplificamos coeficientes: \frac{3}{6}=\frac{1}{2} e \frac{2}{4}=\frac{1}{2}. Então a equação é
\frac{x-5}{2}+\frac{x}{2}=7.
Somando as frações com mesmo denominador:
\frac{(x-5)+x}{2}=7.
Isso dá \frac{2x-5}{2}=7. Multiplicando por 2: 2x-5=14. Somando 5: 2x=19. Logo x=\frac{19}{2}.

Passo 18

Resolvendo (I) \displaystyle \frac{x-1}{2}+\frac{x-3}{3}=6.\n
MMC de 2 e 3 é 6. Multiplicando por 6:
6\cdot\frac{x-1}{2}+6\cdot\frac{x-3}{3}=6\cdot 6.
Simplificando: 3(x-1)+2(x-3)=36. Desenvolvendo: 3x-3+2x-6=36. Então 5x-9=36. Somando 9: 5x=45. Portanto x=9.

Passo 19

Resolvendo ® \displaystyle \frac{x}{5}-2=\frac{5(x-3)}{4}.\n
MMC de 5 e 4 é 20. Multiplicando por 20:
20\cdot\frac{x}{5}-20\cdot 2=20\cdot\frac{5(x-3)}{4}.
Simplificando: 4x-40=5\cdot 5(x-3) porque 20\cdot\frac{5(x-3)}{4}=5\cdot 5(x-3). Então 4x-40=25(x-3). Desenvolvendo o lado direito: 4x-40=25x-75. Subtraindo 4x: -40=21x-75. Somando 75: 35=21x. Dividindo por 21: x=\frac{35}{21}=\frac{5}{3}.

Resposta

a) \displaystyle x=36\n
b) \displaystyle x=12\n
c) \displaystyle x=50\n
d) \displaystyle x=15\n
e) \displaystyle x=\frac{60}{11}\n
f) \displaystyle x=1\n
g) \displaystyle x=\frac{7}{3}\n
h) \displaystyle x=\frac{7}{4}\n
i) \displaystyle x=31\n
j) \displaystyle x=-4\n
k) \displaystyle x=-37\n
m) \displaystyle x=\frac{8}{3}\n
n) \displaystyle x=-4\n
o) \displaystyle x=-\frac{2}{5}\n
p) \displaystyle x=28\n
q) \displaystyle x=\frac{19}{2}\n
I) \displaystyle x=9\n
r) \displaystyle x=\frac{5}{3}

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