Demonstrar as fórmulas para a média e a variância das variáveis aleatórias que seguem os modelos uniforme e exponencial. Deduzir também, para ambos os casos, a função de distribuição cumulativa.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Demonstrar (ou seja, deduzir) as fórmulas da média e da variância para a variável aleatória uniforme (no intervalo [a,b]) e para a variável aleatória exponencial (com parâmetro \lambda>0).
Deduzir também, para ambos os casos, a função de distribuição cumulativa (CDF ou F(x)).
Informações relevantes fornecidas (ou que assumimos como padrão):
Para a uniforme usamos o modelo contínuo com suporte [a,b], onde assumimos a<b.
Para a exponencial usamos a parametrização usual com taxa \lambda>0; a variável tem suporte [0,\infty).
As definições que usaremos: a densidade de probabilidade f(x), a função de distribuição cumulativa
Breve revisão conceitual necessária (passo-a-passo):
Densidade de probabilidade (pdf): f(x) é uma função não negativa tal que a probabilidade de X ficar num intervalo é a integral da pdf nesse intervalo.
Função de distribuição cumulativa (CDF) F(x): dá a probabilidade P(X\le x). Para variáveis contínuas, F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Esperança \mathbb{E}[X]: é a “média” ponderada pela pdf, calculada por \int x f(x)\,dx.
Variância \operatorname{Var}(X): mede dispersão; usamos \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}[X])^{2}.
Vou aplicar essas definições diretamente aos dois modelos.
Passo 3
Uniforme contínua em [a,b]\): definição da pdf
- A pdf da uniforme contínua em \([a,b]\) é constante no intervalo e zero fora. Logo
\[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Explicação rápida: como a área total sob a pdf deve ser 1\] e o comprimento do intervalo é \(b-a, a altura deve ser 1/(b-a).]
Passo 4
Uniforme: derivação da CDF
Pela definição F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt e usando a pdf acima temos três regiões:
Se x<a, então a integral é 0, logo F(x)=0.
Se a\le x\le b, integramos a constante 1/(b-a) de a até x:
Se a=0 e b=1 (a uniforme padrão), temos \mathbb{E}[X]=\tfrac{1}{2} e \operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{12}. Isso confirma as fórmulas em um caso simples.
Passo 9
Exponencial: definição da pdf
A pdf do modelo exponencial com taxa \lambda>0\) é
\[f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x\ge 0,\\[4pt] 0, & x<0. \end{cases}
Explicação: a forma \lambda e^{-\lambda x}\] garante área total \(1 em [0,\infty) e decaimento exponencial.]
Passo 10
Exponencial: dedução da CDF
Pela definição F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt:
Se x<0, então F(x)=0.
Se x\ge 0, então
F(x)=\int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Calcule a integral: uma primitiva de \lambda e^{-\lambda t} é -e^{-\lambda t}. Assim