Demonstrar as fórmulas para a média e a variância das variáveis aleatórias que seguem os modelos uniforme e exponencial. Deduzir também, para ambos os casos, a função de distribuição cumulativa.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Demonstrar (ou seja, deduzir) as fórmulas da média e da variância para a variável aleatória uniforme (no intervalo [a,b]) e para a variável aleatória exponencial (com parâmetro \lambda>0).
  • Deduzir também, para ambos os casos, a função de distribuição cumulativa (CDF ou F(x)).
Informações relevantes fornecidas (ou que assumimos como padrão):
  • Para a uniforme usamos o modelo contínuo com suporte [a,b], onde assumimos a<b.
  • Para a exponencial usamos a parametrização usual com taxa \lambda>0; a variável tem suporte [0,\infty).
  • As definições que usaremos: a densidade de probabilidade f(x), a função de distribuição cumulativa
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt,
a esperança (ou média)
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx,
e a variância
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^{2}.

Passo 2

Breve revisão conceitual necessária (passo-a-passo):
  • Densidade de probabilidade (pdf): f(x) é uma função não negativa tal que a probabilidade de X ficar num intervalo é a integral da pdf nesse intervalo.
  • Função de distribuição cumulativa (CDF) F(x): dá a probabilidade P(X\le x). Para variáveis contínuas, F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
  • Esperança \mathbb{E}[X]: é a “média” ponderada pela pdf, calculada por \int x f(x)\,dx.
  • Variância \operatorname{Var}(X): mede dispersão; usamos \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}[X])^{2}.
    Vou aplicar essas definições diretamente aos dois modelos.

Passo 3

Uniforme contínua em [a,b]\): definição da pdf - A pdf da uniforme contínua em \([a,b]\) é constante no intervalo e zero fora. Logo \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Explicação rápida: como a área total sob a pdf deve ser 1\] e o comprimento do intervalo é \(b-a, a altura deve ser 1/(b-a).]

Passo 4

Uniforme: derivação da CDF
  • Pela definição F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt e usando a pdf acima temos três regiões:
    • Se x<a, então a integral é 0, logo F(x)=0.
    • Se a\le x\le b, integramos a constante 1/(b-a) de a até x:
    F(x)=\int_{a}^{x}\frac{1}{b-a}\,dt=\frac{x-a}{b-a}.
    • Se x>b, então F(x)=1.
  • Portanto a CDF é
F(x)=\begin{cases} 0, & x<a,\\[4pt] \dfrac{x-a}{b-a}, & a\le x\le b,\\[6pt] 1, & x>b. \end{cases}]

Passo 5

Uniforme: cálculo da esperança \mathbb{E}[X]
  • Usamos \mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx. Com a pdf da uniforme, a integral reduz a a até b:
\mathbb{E}[X]=\int_{a}^{b} x\cdot\frac{1}{b-a}\,dx=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} x\,dx.
  • Calcule \int_{a}^{b} x\,dx. A primitiva de x é x^{2}/2, então
\int_{a}^{b} x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{a}^{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{2}.
  • Assim
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{b^{2}-a^{2}}{2}=\frac{b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}.
  • Simplificando b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a) obtemos
\mathbb{E}[X]=\frac{b+a}{2}.
Interpretação: a média da uniforme é o ponto médio do intervalo [a,b].

Passo 6

Uniforme: cálculo de \mathbb{E}[X^{2}] (necessário para a variância)
  • \mathbb{E}[X^{2}]=\int_{a}^{b} x^{2}\cdot\frac{1}{b-a}\,dx=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} x^{2}\,dx.
  • Calcule \int_{a}^{b} x^{2}\,dx. A primitiva é x^{3}/3, então
\int_{a}^{b} x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{a}^{b}=\frac{b^{3}-a^{3}}{3}.
  • Observe que b^{3}-a^{3}=(b-a)(b^{2}+ab+a^{2}). Logo
\mathbb{E}[X^{2}]=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{b^{3}-a^{3}}{3}=\frac{b^{2}+ab+a^{2}}{3}.

Passo 7

Uniforme: cálculo da variância \operatorname{Var}(X)
  • Usamos \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^{2}.
  • Substituindo os resultados:
\operatorname{Var}(X)=\frac{b^{2}+ab+a^{2}}{3}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}.
  • Faça as contas com denominador comum 12:
\frac{4(b^{2}+ab+a^{2})-3(a+b)^{2}}{12}.
  • Expanda o numerador:
4b^{2}+4ab+4a^{2}-3(a^{2}+2ab+b^{2})=4b^{2}+4ab+4a^{2}-3a^{2}-6ab-3b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=(b-a)^{2}.
  • Portanto
\operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12}.

Passo 8

Uniforme: exemplo concreto para fixar
  • Se a=0 e b=1 (a uniforme padrão), temos \mathbb{E}[X]=\tfrac{1}{2} e \operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{12}. Isso confirma as fórmulas em um caso simples.

Passo 9

Exponencial: definição da pdf
  • A pdf do modelo exponencial com taxa \lambda>0\) é \[f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x\ge 0,\\[4pt] 0, & x<0. \end{cases}
Explicação: a forma \lambda e^{-\lambda x}\] garante área total \(1 em [0,\infty) e decaimento exponencial.]

Passo 10

Exponencial: dedução da CDF
  • Pela definição F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt:
    • Se x<0, então F(x)=0.
    • Se x\ge 0, então
    F(x)=\int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t}\,dt.
  • Calcule a integral: uma primitiva de \lambda e^{-\lambda t} é -e^{-\lambda t}. Assim
F(x)=\left.-e^{-\lambda t}\right|_{0}^{x}= -e^{-\lambda x} -(-e^{0})=1-e^{-\lambda x}.
  • Portanto a CDF é
F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 1-e^{-\lambda x}, & x\ge 0. \end{cases}]

Passo 11

Exponencial: cálculo da esperança \mathbb{E}[X] (integração por partes)
  • Use \mathbb{E}[X]=\int_{0}^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}\,dx.
  • Aplicamos integração por partes. Escolha u=x e dv=\lambda e^{-\lambda x}\,dx. Então du=dx e v=-e^{-\lambda x}.
  • Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int_{0}^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \left.-x e^{-\lambda x}\right|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x}\,dx.
  • Avaliando o limite: \lim_{x\to\infty} x e^{-\lambda x}=0 (expo domina polinomial) e no 0 0. Então o primeiro termo é 0.
  • A segunda integral é \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x}\,dx=\left.-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right|_{0}^{\infty}=\frac{1}{\lambda}.
  • Concluímos
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}.

Passo 12

Exponencial: cálculo de \mathbb{E}[X^{2}] (substituição e uso de integral gama)
  • Queremos \mathbb{E}[X^{2}]=\int_{0}^{\infty} x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx.
  • Faço a substituição y=\lambda x, então x=y/\lambda e dx=dy/\lambda. Quando x vai de 0 a \infty, y vai de 0 a \infty.
  • Substituindo:
\mathbb{E}[X^{2}]=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{y}{\lambda}\right)^{2}\lambda e^{-y}\cdot\frac{dy}{\lambda} =\frac{1}{\lambda^{2}}\int_{0}^{\infty} y^{2} e^{-y}\,dy.
  • A integral \int_{0}^{\infty} y^{2} e^{-y}\,dy é a integral gamma \Gamma(3)=2!\,=2 (ou pode ser obtida por integração por partes duas vezes). Então
\mathbb{E}[X^{2}]=\frac{2}{\lambda^{2}}.

Passo 13

Exponencial: cálculo da variância \operatorname{Var}(X)
  • Usando \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}[X])^{2}, substituímos os valores encontrados:
\operatorname{Var}(X)=\frac{2}{\lambda^{2}}-\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{2}=\frac{2}{\lambda^{2}}-\frac{1}{\lambda^{2}}=\frac{1}{\lambda^{2}}.

Passo 14

Exponencial: exemplo rápido para fixar
  • Se \lambda=2, então \mathbb{E}[X]=\tfrac{1}{2} e \operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{4}. A CDF é F(x)=1-e^{-2x} para x\ge 0.

Passo 15

Resumo (recapitulando as fórmulas que você precisa memorizar para a prova)
  • Uniforme [a,b]:
    • pdf: \;f(x)=\dfrac{1}{b-a} para a\le x\le b, e 0 caso contrário.
    • CDF: \;F(x)=0 para x<a, \;F(x)=\dfrac{x-a}{b-a} para a\le x\le b, \;F(x)=1 para x>b.
    • Esperança: \;\mathbb{E}[X]=\dfrac{a+b}{2}.
    • Variância: \;\operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}.
  • Exponencial (taxa \lambda>0):
    • pdf: \;f(x)=\lambda e^{-\lambda x} para x\ge 0, e 0 para x<0.
    • CDF: \;F(x)=0 para x<0, \;F(x)=1-e^{-\lambda x} para x\ge 0.
    • Esperança: \;\mathbb{E}[X]=\dfrac{1}{\lambda}.
    • Variância: \;\operatorname{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^{2}}.

Resposta

Uniforme em [a,b]\): \(F(x)=\begin{cases}0,&x<a,\\[4pt]\dfrac{x-a}{b-a},&a\le x\le b,\\[6pt]1,&x>b,\end{cases}
[\mathbb{E}[X]=\dfrac{a+b}{2}), \operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}.
Exponencial com parâmetro \lambda>0: (F(x)= \begin{cases}0,&x<0,\\[4pt]1-e^{-\lambda x},&x\ge 0,\end{cases}]
\mathbb{E}[X]=\dfrac{1}{\lambda}, \operatorname{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^{2}}.]

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