Resolva as seguintes equações:
\frac{\operatorname{sen}(2 x)}{\operatorname{tg}(x)}=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação
\frac{\sin(2x)}{\tan(x)} = \frac12
O conteúdo que vamos usar envolve identidades trigonométricas básicas: \sin(2x)=2\sin x\cos x e \tan(x)=\frac{\sin x}{\cos x}.

Passo 2

Aplicando as identidades, temos
\frac{\sin(2x)}{\tan(x)} = \frac{2\sin x\cos x}{\frac{\sin x}{\cos x}} =2\sin x\cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin x} =2\cos^2 x,
válido sempre que \sin x\neq0 (isto é, x\neq k\pi).

Passo 3

Substituindo na equação original, obtemos
2\cos^2 x = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad \cos^2 x = \frac14 \quad\Longrightarrow\quad \cos x = \pm \frac12.

Passo 4

As soluções gerais de \cos x = \tfrac12 e \cos x = -\tfrac12 são
\cos x = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad x = 2\pi k \pm \frac{\pi}{3},
\cos x = -\frac12 \quad\Longrightarrow\quad x = 2\pi k \pm \frac{2\pi}{3},
com k\in\mathbb{Z}. Todas essas soluções satisfazem \sin x\neq0, portanto são válidas.

Resposta

x = 2\pi k \pm \frac{\pi}{3} \quad\text{ou}\quad x = 2\pi k \pm \frac{2\pi}{3}, \quad k\in\mathbb{Z}.

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