a) Resolva as seguintes equações homogêneas.
i) 2 y d x-x d y=0
ii) \frac{d y}{d x}=\frac{x+3 y}{x-y}
b) Resolva as seguintes equações diferenciais de tipos variados.
i) \frac{d y}{d x}=(y-x)^{2}
ii) x \cos (y) \frac{d y}{d x}-\left(1-x^{2}\right) \sin (y)=0
iii) (x-2 y-3) \frac{d y}{d x}+2-2 x+4 y=0
iv) x \frac{d y}{d x}+y=x^{3} y^{4}
v) y \frac{d y}{d x}=y^{2} \operatorname{tanh} (x)+x.

Passo 1

O enunciado pede resolver sete equações diferenciais: na parte (a) duas homogêneas e na parte (b) cinco de tipos variados. Para cada uma vamos identificar o tipo (separável, homogênea, Bernoulli, exata com possível fator integrante, linear em mudança de variável), aplicar a técnica apropriada (separação de variáveis, substituições y=vx, u=y-x, u=y^{-3}, fator integrante etc.) e integrar, voltando ao y(x).

Passo 2

a-i) 2y\,dx - x\,dy=0. Dividindo por dx e isolando dy/dx:
2y - x\frac{dy}{dx}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{2y}{x}.
É separável:
\frac{dy}{y}=2\,\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln|y|=2\ln|x|+C \quad\Longrightarrow\quad y=C_1x^2.

Passo 3

a-ii) \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x+3y}{\,x-y\,}. É homogênea (grau 1 em x,y). Colocamos y=vx, logo \,dy/dx=v + x\,dv/dx e
v + x\frac{dv}{dx} =\frac{1+3v}{1-v} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1-v}{(v+1)^2}\,dv=\frac{dx}{x}.
Integrando:
-\,\frac{2}{v+1}-\ln|v+1|=\ln|x|+C \quad\text{com }v=\frac{y}{x}.

Passo 4

b-i) \displaystyle \frac{dy}{dx}=(y-x)^2. Faça u=y-x, então
\frac{du}{dx}=\frac{dy}{dx}-1 =(y-x)^2-1 =u^2-1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{u^2-1}=dx.
Integre:
\frac12\ln\Bigl|\frac{u-1}{u+1}\Bigr|=x+C, \quad u=y-x.

Passo 5

b-ii) x\cos y\,\frac{dy}{dx}-(1-x^2)\sin y=0. Passando termo:
\frac{dy}{dx}=\frac{1-x^2}{x}\tan y =\frac{1}{x}\tan y - x\tan y,
é separável:
\int\cot y\,dy =\int\Bigl(\frac{1}{x}-x\Bigr)dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|\sin y|=\ln|x|-\frac{x^2}{2}+C.

Passo 6

b-iii) (x-2y-3)\,\frac{dy}{dx}+2-2x+4y=0. Note u=x-2y-3, então
\frac{du}{dx}=1-2\frac{dy}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1-\tfrac{du}{dx}}{2}.
Substituindo no ODE chega-se a
u\frac{du}{dx}+3u+8=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{u}{3u+8}\,du=-dx,
que se integra e depois volta-se a y via u=x-2y-3.

Passo 7

b-iv) x\frac{dy}{dx}+y=x^3y^4. É Bernoulli com n=4. Colocamos na forma
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y =x^2y^4.
Use z=y^{1-4}=y^{-3}. Obtém-se linear em z:
\frac{dz}{dx}-\frac{3}{x}z=-3x^2,
fator integrante \mu=x^{-3}. Integre e volte a y=z^{-1/3}.

Passo 8

b-v) y\frac{dy}{dx}=y^2\operatorname{tanh} x +x. Multiplique por 2 e ponha u=y^2, então
\frac{du}{dx}=2y\frac{dy}{dx} =2u\operatorname{tanh} x+2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx}-2\operatorname{tanh} x\,u=2x.
É linear em u com fator integrante \mu=e^{-2\int\operatorname{tanh} x\,dx}=\operatorname{cosh}^{-2}x. Integre e volte a y=\pm\sqrt{u}.

Resposta

a)
i) y=C_1x^2.
ii) Solução implícita
-\,\frac{2}{\,\tfrac{y}{x}+1}-\ln\bigl|\tfrac{y}{x}+1\bigr|=\ln|x|+C.
b)
i) \displaystyle \tfrac12\ln\Bigl|\frac{y-x-1}{\,y-x+1}\Bigr|=x+C.
ii) \displaystyle \ln|\sin y|=\ln|x|-\tfrac{x^2}{2}+C \;\Longrightarrow\;\sin y=Kx\,e^{-x^2/2}.
iii) \displaystyle \frac{u}{3}-\frac{8}{9}\ln|3u+8|=-x+C,\quad u=x-2y-3.
iv) \displaystyle y^{-3}x^{-3}=-3\ln|x|+C \;\Longrightarrow\;y=\bigl(x^3(C-3\ln|x|)\bigr)^{-1/3}.
v) \displaystyle u\operatorname{cosh}^{-2}x =2\bigl(x\operatorname{tanh} x-\ln\operatorname{cosh} x\bigr)+C,\quad u=y^2.

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