a) Resolva as seguintes equações homogêneas.
i) 2 y d x-x d y=0
ii) \frac{d y}{d x}=\frac{x+3 y}{x-y}
b) Resolva as seguintes equações diferenciais de tipos variados.
i) \frac{d y}{d x}=(y-x)^{2}
ii) x \cos (y) \frac{d y}{d x}-\left(1-x^{2}\right) \sin (y)=0
iii) (x-2 y-3) \frac{d y}{d x}+2-2 x+4 y=0
iv) x \frac{d y}{d x}+y=x^{3} y^{4}
v) y \frac{d y}{d x}=y^{2} \operatorname{tanh} (x)+x.
Passo 1
O enunciado pede resolver sete equações diferenciais: na parte (a) duas homogêneas e na parte (b) cinco de tipos variados. Para cada uma vamos identificar o tipo (separável, homogênea, Bernoulli, exata com possível fator integrante, linear em mudança de variável), aplicar a técnica apropriada (separação de variáveis, substituições y=vx, u=y-x, u=y^{-3}, fator integrante etc.) e integrar, voltando ao y(x).
Passo 2
a-i) 2y\,dx - x\,dy=0. Dividindo por dx e isolando dy/dx: