Mostre que as equções abaixo são homogêneas e encontre suas soluções.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para mostrar que ela é homogênea e, em seguida, encontrar sua solução geral. Vamos usar o fato de que, em uma equação da forma
se
e
são polinômios homogêneos do mesmo grau, a equação é dita homogênea e aceita a substituição
Passo 2
Escrevemos a equação em forma diferencial
Aqui
e de fato para todo
vale
logo ambos são homogêneos de grau 2.
Passo 3
Colocamos a equação em forma normal de primeira ordem:
Note que isso depende apenas de
. Definimos
Substituindo na equação:
Passo 4
Isolando
:
Passo 5
Separamos variáveis:
Integramos ambos os lados:
Fazendo
, temos
, então
Do outro lado,
Juntando constantes:
Passo 6
Retornando a
:
Multiplicando por
:
Resposta
A equação é homogênea e sua solução geral implícita é
em que
é constante arbitrária.