Mostre que as equções abaixo são homogêneas e encontre suas soluções.
x y \frac{d y}{d x}+x^{2}+y^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y\,\frac{dy}{dx} + x^{2} + y^{2} = 0
e pede para mostrar que ela é homogênea e, em seguida, encontrar sua solução geral. Vamos usar o fato de que, em uma equação da forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0,
se M e N são polinômios homogêneos do mesmo grau, a equação é dita homogênea e aceita a substituição
y = v\,x.

Passo 2

Escrevemos a equação em forma diferencial
x^{2} + y^{2} + x\,y\,\frac{dy}{dx} = 0 \;\Longleftrightarrow\; (x^{2}+y^{2})\,dx + x\,y\,dy = 0.
Aqui
M(x,y)=x^{2}+y^{2}, \quad N(x,y)=x\,y,
e de fato para todo t vale
M(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}(x^{2}+y^{2})=t^{2}M(x,y),
N(tx,ty)=(tx)(ty)=t^{2}\,x\,y=t^{2}N(x,y),
logo ambos são homogêneos de grau 2.

Passo 3

Colocamos a equação em forma normal de primeira ordem:
\frac{dy}{dx}=-\frac{x^{2}+y^{2}}{x\,y}.
Note que isso depende apenas de \frac{y}{x}. Definimos
v=\frac{y}{x} \quad\Longrightarrow\quad y=v\,x \quad\text{e}\quad \frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação:

Passo 4

v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{x^{2} + (v\,x)^{2}}{x\,(v\,x)} = -\frac{x^{2}(1+v^{2})}{x^{2}v} = -\frac{1+v^{2}}{v}.
Isolando dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+v^{2}}{v} - v = -\frac{1+v^{2}+v^{2}}{v} = -\frac{1+2v^{2}}{v},
\frac{dv}{dx} = -\frac{1+2v^{2}}{v\,x}.

Passo 5

Separamos variáveis:
\frac{v}{1+2v^{2}}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{v}{1+2v^{2}}\,dv = \int -\frac{dx}{x}.
Fazendo u=1+2v^{2}, temos du=4v\,dv, então
\int \frac{v}{1+2v^{2}}\,dv = \frac{1}{4}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{4}\ln\bigl|u\bigr| + C = \frac{1}{4}\ln\bigl(1+2v^{2}\bigr)+C.
Do outro lado,
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C'.
Juntando constantes:
\frac{1}{4}\ln\bigl(1+2v^{2}\bigr) = -\ln|x| + C_{1} \;\Longrightarrow\; \ln\bigl(1+2v^{2}\bigr) = -4\ln|x| + C_{2}.

Passo 6

Retornando a v=y/x:
\ln\bigl(1 + 2\,(y/x)^{2}\bigr) = \ln\bigl(C\,x^{-4}\bigr) \;\Longrightarrow\; 1 + 2\frac{y^{2}}{x^{2}} = C\,x^{-4}.
Multiplicando por x^{4}:
x^{4} + 2x^{2}y^{2} = C.

Resposta

A equação é homogênea e sua solução geral implícita é
x^{4} + 2\,x^{2}y^{2} = C,
em que C é constante arbitrária.

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