Mostre que as equções abaixo são homogêneas e encontre suas soluções. \frac{d y}{d x}=\frac{2 x+y}{2 y-x}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
\frac{dy}{dx}=\frac{2x+y}{2y-x}
é homogênea e, em seguida, encontrar sua solução geral. O conteúdo que precisamos usar é o método de equações diferenciais homogêneas, que consiste em verificar que o quociente à direita é função de y/x e, então, fazer a substituição
y=vx,
transformando a EDO numa equação separável em v e x.
Passo 2
Para verificar a homogeneidade, note que se substituirmos (x,y)\mapsto(\lambda x,\lambda y) no lado direito, obtemos