Mostre que as equções abaixo são homogêneas e encontre suas soluções.
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x+y}{2 y-x}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
\frac{dy}{dx}=\frac{2x+y}{2y-x}
é homogênea e, em seguida, encontrar sua solução geral. O conteúdo que precisamos usar é o método de equações diferenciais homogêneas, que consiste em verificar que o quociente à direita é função de y/x e, então, fazer a substituição
y=vx,
transformando a EDO numa equação separável em v e x.

Passo 2

Para verificar a homogeneidade, note que se substituirmos (x,y)\mapsto(\lambda x,\lambda y) no lado direito, obtemos
\frac{2(\lambda x)+(\lambda y)}{2(\lambda y)-(\lambda x)} =\frac{\lambda(2x+y)}{\lambda(2y-x)} =\frac{2x+y}{2y-x}.
Como o fator \lambda se cancela, a função é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazendo a substituição y=vx, temos
\frac{dy}{dx} =v + x\frac{dv}{dx}.
No lado direito,
\frac{2x+y}{2y-x} =\frac{2x+vx}{2(vx)-x} =\frac{2+v}{2v-1}.
Assim a EDO vira
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{2+v}{2v-1}.

Passo 4

Reescrevendo para isolar \frac{dv}{dx}, obtemos
x\frac{dv}{dx} =\frac{2+v}{2v-1}-v =\frac{2+v - v(2v-1)}{2v-1} =\frac{2+2v-2v^2}{2v-1} =\frac{2\bigl(1+v-v^2\bigr)}{2v-1}.
Logo
\frac{dv}{dx} =\frac{2\bigl(1+v-v^2\bigr)}{(2v-1)\,x}.

Passo 5

Separamos variáveis:
\frac{2v-1}{2\bigl(1+v-v^2\bigr)}\,dv =\frac{dx}{x}.

Passo 6

Para integrar a parte em v, note que
\frac{d}{dv}\bigl(1+v-v^2\bigr) =1-2v=-(2v-1),
portanto
\int\frac{2v-1}{2\bigl(1+v-v^2\bigr)}\,dv =-\frac12\int\frac{d\bigl(1+v-v^2\bigr)}{1+v-v^2} =-\frac12\ln\bigl|1+v-v^2\bigr|+C_1.
No lado direito,
\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C_2.
Igualando e reunindo constantes,
-\tfrac12\ln\bigl|1+v-v^2\bigr| =\ln|x|+C \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|1+v-v^2\bigr| =-2\ln|x|+C'.

Passo 7

Exponenciando e voltando a y/x=v, obtemos
\bigl|1+v-v^2\bigr| =\frac{K}{x^2},
onde K=e^{C'}. Substituindo v=y/x e multiplicando por x^2, fica
\bigl(1+\tfrac{y}{x}-\tfrac{y^2}{x^2}\bigr)x^2 =x^2+xy-y^2 =K.

Resposta

A solução geral (implícita) é
\boxed{x^2 + x\,y - y^2 = C,}
onde C é a constante arbitrária.

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