Resolva as seguintes equações:
(a) \left|\begin{array}{ccc}x & 5 & 7 \\\\ 0 & x+1 & 6 \\\\ 0 & 0 & 2 x-1\end{array}\right|=0 ;(b)\left|\begin{array}{ccc}2 & x-2 & 3 \\\\ 2 x+3 & x-1 & 4 \\\\ 5 & 1 & 0\end{array}\right|=16 ;\text{(c)}\left|\begin{array}{cc}x & -1 \\\\ 3 & 1-x\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & -3 \\\\ 2 & x & -6 \\\\ 1 & 3 & x-5\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede para resolver três equações em que aparecem determinantes de matrizes quadradas. O conteúdo é propriedade de determinante de matriz triangular (item a), cálculo de determinante 3\times 3 por expansão (item b) e igualdade de determinantes de tamanhos diferentes, levando a uma equação em x (item c). Para isso vamos usar:
  1. Em matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
  2. Para matriz 3\times 3, usar expansão de Laplace pela primeira linha.
  3. Para a igualdade de determinantes, calcular cada um e igualar, obtendo uma equação algébrica em x.

Passo 2

(a) A matriz é triangular superior
\begin{vmatrix} x & 5 & 7\\\\ 0 & x+1 & 6\\\\ 0 & 0 & 2x-1 \end{vmatrix} =x\,(x+1)\,(2x-1).
Impondo igual a zero,
x\,(x+1)\,(2x-1)=0
dá as raízes
x=0,\quad x=-1,\quad x=\tfrac12.

Passo 3

(b) Seja
D(x)=\begin{vmatrix} 2 & x-2 & 3\\\\ 2x+3 & x-1 & 4\\\\ 5 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
D(x) =2\begin{vmatrix}x-1&4\\\ 1&0\end{vmatrix} -(x-2)\begin{vmatrix}2x+3&4\\\ 5&0\end{vmatrix} +3\begin{vmatrix}2x+3&x-1\\\ 5&1\end{vmatrix}.
Calcule cada menor: \begin{vmatrix}x-1&4\\\ 1&0\end{vmatrix}=-(4)= -4, \begin{vmatrix}2x+3&4\\\ 5&0\end{vmatrix}=-20, \begin{vmatrix}2x+3&x-1\\\ 5&1\end{vmatrix}=(2x+3)-5(x-1)= -3x+8.
Logo
D(x)=2(-4)-(x-2)(-20)+3(-3x+8) =-8+20(x-2)-9x+24=11x-24.
Queremos D(x)=16, então
11x-24=16\quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{40}{11}.

Passo 4

(c) À esquerda temos a matriz 2\times 2
A(x)=\begin{vmatrix}x&-1\\\ 3&1-x\end{vmatrix} =x(1-x)-(-1)\cdot3=-x^2+x+3.
À direita a matriz 3\times 3
B(x) =\begin{vmatrix} 1&0&-3\\\\ 2&x&-6\\\\ 1&3&x-5 \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
B(x) =1\begin{vmatrix}x&-6\\\ 3&x-5\end{vmatrix} +(-3)\begin{vmatrix}2&x\\\ 1&3\end{vmatrix} =x(x-5)+18-3(6-x) =x^2-5x+18-18+3x =x^2-2x.
Igualando A(x)=B(x):
-x^2+x+3=x^2-2x \quad\Longrightarrow\quad 2x^2-3x-3=0.
A solução é
x=\frac{3\pm\sqrt{9+24}}{4} =\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}.

Resposta

(a) x=0,\;-1,\;\tfrac12
(b) x=\tfrac{40}{11}
(c) x=\dfrac{3\pm\sqrt{33}}{4}

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