Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 4 \\\\ 2 & 3 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 4 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ -2 & 1 & -3\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\\ -1 & -2 & 1 \\\\ 4 & 5 & 7\end{array}\right]. Determine matrizes elementares E_{1}, E_{2}, E_{3} e E_{4} tais que B=E_{2} E_{1} A e C=E_{4} E_{3} A. Explique como estas matrizes foram obtidas e confira seu resultado.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 4\\\\ 2 & 3 & 5 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ -2 & 1 & -3 \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ -1 & -2 & 1\\\\ 4 & 5 & 7 \end{pmatrix}
e pede encontrar matrizes elementares E_1,E_2 tais que B=E_2E_1A e E_3,E_4 tais que C=E_4E_3A. Vamos usar o fato de que aplicar uma operação elementar de linha em A equivale a multiplicar à esquerda por uma matriz elementar.

Passo 2

Para obter B a partir de A fazemos duas operações de linha:
  1. Trocar a linha 1 com a linha 2 (isso dá em M=E_1A com
E_{1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
de modo que
M=E_1A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & 5 \end{pmatrix}.
  1. Subtrair 2 vezes a nova linha 1 da linha 3 (isso dá B=E_2M com
E_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix},
pois a linha 3 passa a ser \text{(linha3)}-2\cdot\text{(linha1)}. Assim
B = E_2E_1A.

Passo 3

Para obter C a partir de A fazemos duas outras operações de linha:
  1. Adicionar 2 vezes a linha 1 à linha 3 (em M'=E_3A), com
E_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix},
de modo que
M'=E_3A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 4\\\\ 4 & 5 & 7 \end{pmatrix}.
  1. Subtrair 3 vezes a linha 1 da linha 2 (em C=E_4M'), com
E_{4}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -3 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
pois a linha 2 passa a ser \text{(linha2)}-3\cdot\text{(linha1)}. Assim
C = E_4E_3A.

Resposta

E_{1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_{4}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -3 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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