Resolva as seguintes equações em \mathbb{C} :
z^{5}+32=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{C} a equação
z^{5} + 32 = 0.
O conteúdo envolvido é extração de raízes de número complexo, usando forma polar e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Reescrevemos a equação como
z^5 = -32.
Em forma polar, -32 tem módulo 32 e argumento \pi (ou seja, -32 = 32 e^{i\pi}, lembrando que podemos acrescentar 2\pi k).

Passo 3

Seja z = r e^{i\theta}. Então
r^5 = 32 \quad\text{e}\quad 5\theta = \pi + 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Da primeira parte vem
r = 32^{1/5} = 2.

Passo 4

Da segunda parte temos
\theta = \frac{\pi + 2\pi k}{5},\quad k = 0,1,2,3,4.
Com isso obtemos as cinco raízes distintas no plano complexo.

Passo 5

As soluções são
z_k = 2e^{\,i\frac{\pi + 2\pi k}{5}} \quad\text{para }k=0,1,2,3,4.
Em forma trigonométrica,
z_k = 2\bigl(\cos\!\tfrac{\pi + 2\pi k}{5} + i\sin\!\tfrac{\pi + 2\pi k}{5}\bigr).

Resposta

z_k = 2e^{\,i\frac{\pi + 2\pi k}{5}},\quad k = 0,1,2,3,4.

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