Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
. - Objetivo: encontrar a solução geral
, isto é, a solução da equação completa (solução geral da homogênea mais uma solução particular).
Passo 2
Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
A técnica padrão é propor
e obter a equação característica. Substituindo dá a equação característica
Agora resolvemos essa quadrática. Use fórmula de Bhaskara:
Quando as raízes são complexas conjugadas
a forma da solução geral da homogênea é
Aqui
e
, logo
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da equação não-homogênea. Explico a ideia do método de coeficientes indeterminados:
- Quando o termo for um seno/cosseno com frequência
, normalmente tentamos uma combinação linear com coeficientes desconhecidos . - Se essa tentativa for solução da homogênea (ou seja, “ressonância”), é necessário multiplicar a tentativa por
ou por adequado. Aqui há que verificar ressonância.
No nosso caso o forçamento é
. Uma ansatz natural é
com
constantes a determinar. Antes de usar, verificamos ressonância: a solução homogênea tem termos com
e
multiplicados por
. Como o forçamento não tem o fator
(ele é
vezes seno), não há ressonância com as soluções homogêneas. Portanto a forma proposta é adequada sem multiplicar por
.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
. É importante fazer passo a passo:
Derivando uma vez:
Derivando de novo:
Aqui usei as derivadas elementares
e
, e a derivada novamente aplica as mesmas regras.
Passo 5
Substituímos
,
e
na parte esquerda da equação diferencial para determinar
e
. A soma é
Agora agrupamos os termos em
e
separadamente.
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Portanto
Passo 6
Igualamos o lado esquerdo ao lado direito [3\sin(2t)). Isso equivale a igualar coeficientes de
e
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Temos o sistema linear para
e
:
Da primeira equação (A=-4B]. Substituindo na segunda:
Logo
Então
]
Logo
Então
Passo 7
Substituindo
e
na ansatz obtemos a solução particular:
Passo 8
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea
com a particular
:
Aqui
e
são constantes arbitrárias (determindas por condições iniciais, se houver).