Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=3 \operatorname{sen}(2 t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''+2y'+5y=3\sin(2t).
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é 3\sin(2t).
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(t), isto é, a solução da equação completa (solução geral da homogênea mais uma solução particular).

Passo 2

Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
y''+2y'+5y=0.
A técnica padrão é propor y=e^{rt} e obter a equação característica. Substituindo dá a equação característica
r^{2}+2r+5=0.
Agora resolvemos essa quadrática. Use fórmula de Bhaskara:
r=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i.
Quando as raízes são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta a forma da solução geral da homogênea é
y_{c}(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big).
Aqui \alpha=-1 e \beta=2, logo
y_{c}(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_{p}(t) da equação não-homogênea. Explico a ideia do método de coeficientes indeterminados:
  • Quando o termo for um seno/cosseno com frequência \omega, normalmente tentamos uma combinação linear \tilde{A}\cos(\omega t)+\tilde{B}\sin(\omega t) com coeficientes desconhecidos \tilde{A},\tilde{B}.
  • Se essa tentativa for solução da homogênea (ou seja, “ressonância”), é necessário multiplicar a tentativa por t ou por t^{m} adequado. Aqui há que verificar ressonância.
No nosso caso o forçamento é 3\sin(2t). Uma ansatz natural é
y_{p}(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),
com A,B constantes a determinar. Antes de usar, verificamos ressonância: a solução homogênea tem termos com \cos(2t) e \sin(2t) multiplicados por e^{-t}. Como o forçamento não tem o fator e^{-t} (ele é e^{0t} vezes seno), não há ressonância com as soluções homogêneas. Portanto a forma proposta é adequada sem multiplicar por t.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}. É importante fazer passo a passo:
y_{p}(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t).
Derivando uma vez:
y_{p}'(t)=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t).
Derivando de novo:
y_{p}''(t)=-4A\cos(2t)-4B\sin(2t).
Aqui usei as derivadas elementares \frac{d}{dt}\cos(2t)=-2\sin(2t) e \frac{d}{dt}\sin(2t)=2\cos(2t), e a derivada novamente aplica as mesmas regras.

Passo 5

Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na parte esquerda da equação diferencial para determinar A e B. A soma é
y_{p}''+2y_{p}'+5y_{p}=(-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)) +2(-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)) +5(A\cos(2t)+B\sin(2t)).
Agora agrupamos os termos em \cos(2t) e \sin(2t) separadamente.
Coeficiente de \cos(2t):
-4A + 2\cdot 2B + 5A = (-4A +4B +5A)=A+4B.
Coeficiente de \sin(2t):
-4B + 2\cdot(-2A) + 5B = (-4B -4A +5B)=B-4A.
Portanto
y_{p}''+2y_{p}'+5y_{p}=(A+4B)\cos(2t)+(B-4A)\sin(2t).

Passo 6

Igualamos o lado esquerdo ao lado direito [3\sin(2t)). Isso equivale a igualar coeficientes de \cos(2t) e \sin(2t):
  • Coeficiente de \cos(2t): A+4B=0.
  • Coeficiente de \sin(2t): B-4A=3.
Temos o sistema linear para A e B:
\begin{cases} A+4B=0,\\[4pt] -4A+B=3. \end{cases}
Da primeira equação (A=-4B]. Substituindo na segunda:
-4(-4B)+B=3 \quad\Rightarrow\quad 16B+B=3 \quad\Rightarrow\quad 17B=3.
Logo
B=\frac{3}{17}.
Então
A=-4B=-4\cdot\frac{3}{17}=-\frac{12}{17}.]

Passo 7

Substituindo A e B na ansatz obtemos a solução particular:
y_{p}(t)=-\frac{12}{17}\cos(2t)+\frac{3}{17}\sin(2t).

Passo 8

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea y_{c} com a particular y_{p}:
y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big)-\frac{12}{17}\cos(2t)+\frac{3}{17}\sin(2t).
Aqui C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determindas por condições iniciais, se houver).

Resposta

y(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big)-\frac{12}{17}\cos(2t)+\frac{3}{17}\sin(2t)

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