Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}=x e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y'' = x e^{x}.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) desta equação usando o método de coeficientes indeterminados.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é linear não-homogênea de segunda ordem com termo fonte x e^{x}.
  • Não há condições iniciais fornecidas, portanto busca-se a solução geral com duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Escolha do método (pedido no enunciado): usar o método de coeficientes indeterminados. Vou explicar o método de forma prática e simples antes de aplicar.
Breve aula sobre o método de coeficientes indeterminados:
  • Serve quando o termo não-homogêneo (lado direito) é uma combinação finita de funções tipo polinômio, exponencial e^{ax}, senos e cossenos, ou produto desses.
  • Passos básicos:
    1. Resolver a equação homogênea associada para obter y_h.
    2. Escolher um “chute” para a solução particular y_p com coeficientes desconhecidos. O formato do chute é o mesmo tipo da força: por exemplo, se o lado é P(x)e^{ax} (com P polinômio), tenta-se y_p = Q(x)e^{ax} com Q polinômio do mesmo grau que P.
    3. Se e^{ax} (ou termo proposto) for solução da homogênea, multiplica-se o chute por x^{s}, onde s é a multiplicidade do valor r=a como raiz do polinômio característico da homogênea.
    4. Determinar os coeficientes de Q derivando y_p, substituindo na EDO e igualando coeficientes polinomiais para resolver as incógnitas.
  • No nosso caso o termo é x e^{x}, ou seja P(x)e^{ax} com P(x)=x (grau 1) e a=1. Vou aplicar exatamente esse procedimento.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
Equação homogênea: y''=0.
Esta é fácil: integrar duas vezes.
  • Integração 1: y''=0 \Rightarrow y' = C_1, onde C_1 é constante.
  • Integração 2: y' = C_1 \Rightarrow y = C_1 x + C_2, onde C_2 é outra constante.
Portanto a solução homogênea é
y_h(x)=C_1 x + C_2.

Passo 4

Preparar o chute para a solução particular y_p.
Raciocínio:
  • O termo não-homogêneo é \;x e^{x}\;, produto de um polinômio de grau 1 por e^{ax} com a=1.
  • Então tentamos um y_p da forma y_p = e^{x}\cdot Q(x), onde Q(x) é um polinômio de grau igual ao de P(x), ou seja grau 1: Q(x)=Ax+B.
  • Antes de multiplicar por alguma potência de x, verificar se e^{x} corresponde a raiz r=1 do polinômio característico da homogênea. O polinômico característico da homogênea y''=0 é r^2=0, com raiz r=0 (multiplicidade 2). Como r=1 não é raiz, não precisamos multiplicar por x.
  • Conclusão: usa-se o chute simples
y_p(x)=e^{x}(A x + B),
com A e B coeficientes indeterminados a determinar.

Passo 5

Calcular as derivadas de y_p passo a passo.
Começando por
y_p(x)=e^{x}(A x + B).
Derivada primeira usando regra do produto:
y_p'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}(A x + B)\big) = e^{x}(A x + B) + e^{x}\cdot A = e^{x}\big(A x + (A+B)\big).
Derivada segunda:
y_p''(x)=\frac{d}{dx}\big[e^{x}\big(A x + (A+B)\big)\big] = e^{x}\big(A x + (A+B)\big) + e^{x}\cdot A = e^{x}\big(A x + (2A + B)\big).

Passo 6

Substituir y_p'' na equação e igualar coeficientes para encontrar A e B.
A equação pede y'' = x e^{x}. Substituindo o y_p'' obtido:
e^{x}\big(A x + (2A + B)\big) = x e^{x}.
Como e^{x} nunca é zero, pode-se cancelar e^{x}:
A x + (2A + B) = x.
Isto é uma identidade polinomial em x. Igualando coeficientes do mesmo grau:
  • Coeficiente de x: A = 1.
  • Coeficiente constante: 2A + B = 0.
Substituindo A=1 na segunda equação:
2\cdot 1 + B = 0 \quad\Rightarrow\quad B = -2.
Portanto A=1 e B=-2.

Passo 7

Escrever a solução particular encontrada e a solução geral.
Com A=1 e B=-2,
y_p(x)=e^{x}(x-2).
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 x + C_2 + e^{x}(x-2),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, só para confiança): calcular y'' de y(x)=C_1 x + C_2 + e^{x}(x-2). As derivadas da parte C_1 x + C_2 anulam-se na segunda derivada; a segunda derivada de e^{x}(x-2) já foi calculada e deu e^{x} x. Logo y'' = x e^{x}, confirma que a solução está correta.

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}+e^{x}(x-2)

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