Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
O que se pede: encontrar a solução geral
desta equação usando o método de coeficientes indeterminados.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A equação é linear não-homogênea de segunda ordem com termo fonte
. - Não há condições iniciais fornecidas, portanto busca-se a solução geral com duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Escolha do método (pedido no enunciado): usar o método de coeficientes indeterminados. Vou explicar o método de forma prática e simples antes de aplicar.
Breve aula sobre o método de coeficientes indeterminados:
- Serve quando o termo não-homogêneo (lado direito) é uma combinação finita de funções tipo polinômio, exponencial
, senos e cossenos, ou produto desses. - Passos básicos:
- Resolver a equação homogênea associada para obter
. - Escolher um “chute” para a solução particular
com coeficientes desconhecidos. O formato do chute é o mesmo tipo da força: por exemplo, se o lado é (com polinômio), tenta-se com polinômio do mesmo grau que . - Se
(ou termo proposto) for solução da homogênea, multiplica-se o chute por , onde é a multiplicidade do valor como raiz do polinômio característico da homogênea. - Determinar os coeficientes de
derivando , substituindo na EDO e igualando coeficientes polinomiais para resolver as incógnitas.
- Resolver a equação homogênea associada para obter
- No nosso caso o termo é
, ou seja com (grau 1) e . Vou aplicar exatamente esse procedimento.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Equação homogênea: .
Esta é fácil: integrar duas vezes.
Equação homogênea:
Esta é fácil: integrar duas vezes.
- Integração 1:
, onde é constante. - Integração 2:
, onde é outra constante.
Portanto a solução homogênea é
Passo 4
Preparar o chute para a solução particular
.
Raciocínio:
- O termo não-homogêneo é
, produto de um polinômio de grau 1 por com . - Então tentamos um
da forma , onde é um polinômio de grau igual ao de , ou seja grau 1: . - Antes de multiplicar por alguma potência de
, verificar se corresponde a raiz do polinômio característico da homogênea. O polinômico característico da homogênea é , com raiz (multiplicidade 2). Como não é raiz, não precisamos multiplicar por . - Conclusão: usa-se o chute simples
com
e
coeficientes indeterminados a determinar.
Passo 5
Calcular as derivadas de
passo a passo.
Começando por
Derivada primeira usando regra do produto:
Derivada segunda:
Passo 6
Substituir
na equação e igualar coeficientes para encontrar
e
.
A equação pede
. Substituindo o
obtido:
Como
nunca é zero, pode-se cancelar
:
Isto é uma identidade polinomial em
. Igualando coeficientes do mesmo grau:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente constante:
.
Substituindo
na segunda equação:
Portanto
e
.
Passo 7
Escrever a solução particular encontrada e a solução geral.
Com
e
,
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, só para confiança): calcular
de
. As derivadas da parte
anulam-se na segunda derivada; a segunda derivada de
já foi calculada e deu
. Logo
, confirma que a solução está correta.