Resolva as seguintes equações modulares, encontrando o conjunto solução (todos os valores reais de \mathbf{x} ):
|3 x-1|=8

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação modular e encontrar todos os valores reais de x:
|3x-1| = 8.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x e deve-se obter o conjunto solução com todos os x\in\mathbb{R}.
  • O lado direito da igualdade é 8, que é um número não negativo (isso é importante quando se resolve equações com valor absoluto).

Passo 2

Entendendo o valor absoluto (a ideia que precisa estar clara):
  • Para qualquer número real y\), o valor absoluto \(|y|\) é definido por: \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
  • Daí, se temos uma equação da forma |A| = B\] com \(B\ge 0, isto é equivalente ao sistema de duas equações lineares:
A = B \qquad\text{ou}\qquad A = -B.
Aplicando essa regra ao nosso problema, como 8\ge 0, basta resolver as duas equações lineares correspondentes.]

Passo 3

Escrevendo as duas hipóteses vindas da definição:
\text{Caso 1: } 3x-1 = 8, \qquad \text{Caso 2: } 3x-1 = -8.

Passo 4

Resolver o Caso 1 passo a passo:
3x-1 = 8.
Somar 1 em ambos os lados:
3x = 8+1 = 9.
Dividir ambos os lados por 3:
x = \frac{9}{3} = 3.
Verificação rápida: calcular o lado esquerdo original com x=3:
|3\cdot 3 - 1| = |9-1| = |8| = 8,
portanto x=3 satisfaz a equação.

Passo 5

Resolver o Caso 2 passo a passo:
3x-1 = -8.
Somar 1 em ambos os lados:
3x = -8+1 = -7.
Dividir por 3:
x = \frac{-7}{3} = -\tfrac{7}{3}.
Verificação rápida: calcular o lado esquerdo original com x=-\tfrac{7}{3}:
\left|3\cdot\left(-\tfrac{7}{3}\right)-1\right| = |-7-1| = |-8| = 8,
portanto x=-\tfrac{7}{3} também satisfaz a equação.

Passo 6

Conclusão e cuidado com soluções extranhas:
  • Ambos os candidatos encontrados passam na verificação, então não há soluções extranhas a descartar.
  • O conjunto solução contém exatamente os dois valores obtidos.

Resposta

\left\{-\tfrac{7}{3},\,3\right\}

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