Encontre o conjunto solução das seguintes equações exponenciais, reduzindo ambos os lados à mesma base ou utilizando substituição de variáveis:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação exponencial
Informações dadas:
- A incógnita é
. - Temos potências com bases
e .
O que se pede: encontrar todos os valores deque satisfazem a equação.
Passo 2
Observação útil (propriedade de potências). Para trabalhar aqui é conveniente escrever tudo com a mesma base. Lembre que para quaisquer números
e
vale
Em particular, como
, tem-se
Isso mostra que a expressão
é o quadrado de
. Para simplificar a escrita e transformar a equação numa equação polinomial, faço a substituição
Observação sobre domínio: como
para todo
, teremos
. Agora substituo na equação original.
Passo 3
Substituindo
e
na equação, obtemos a equação quadrática
Agora vou resolver essa quadrática. Para uma equação genérica
as raízes são dadas pela fórmula
onde
é o discriminante. Aqui
,
,
. Calculo o discriminante:
Então as raízes são
Isso dá duas soluções para
:
Passo 4
Voltando à variável original
usando
. Temos dois casos:
- Se
, então . Como , conclui-se . - Se
, então . Como , conclui-se .
Explicação do passo: inverter
é usar que a função exponencial base
é injetora, ou equivalentemente usar logaritmo base
:
. Aqui os valores são potências inteiras de
, então identificamos os expoentes diretamente.
Passo 5
Verificação rápida (para aumentar a confiança):
- Para
:
- Para
:
Ambos satisfazem a equação, e não existem outras soluções porque a substituição
cobre todos
e a quadrática deu exatamente essas duas raízes positivas.
Passo 6
Conclusão final: o conjunto solução é formado pelos dois valores encontrados.