Encontre o conjunto solução das seguintes equações exponenciais, reduzindo ambos os lados à mesma base ou utilizando substituição de variáveis:
4^{x}-12 \cdot 2^{x}+32=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
4^{x}-12\cdot 2^{x}+32=0.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • Temos potências com bases 4 e 2.
    O que se pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem a equação.

Passo 2

Observação útil (propriedade de potências). Para trabalhar aqui é conveniente escrever tudo com a mesma base. Lembre que para quaisquer números a>0 e x vale
(a^b)^x = a^{b x}.
Em particular, como 4=2^2, tem-se
4^{x}=(2^{2})^{x}=2^{2x}=(2^{x})^{2}.
Isso mostra que a expressão 4^{x} é o quadrado de 2^{x}. Para simplificar a escrita e transformar a equação numa equação polinomial, faço a substituição
y=2^{x}.
Observação sobre domínio: como 2^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, teremos y>0. Agora substituo na equação original.

Passo 3

Substituindo 4^{x}=(2^{x})^{2}=y^{2} e 2^{x}=y na equação, obtemos a equação quadrática
y^{2}-12y+32=0.
Agora vou resolver essa quadrática. Para uma equação genérica ay^{2}+by+c=0 as raízes são dadas pela fórmula
y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde \Delta=b^{2}-4ac é o discriminante. Aqui a=1, b=-12, c=32. Calculo o discriminante:
\Delta = (-12)^{2}-4\cdot1\cdot32 = 144-128 = 16.
Então as raízes são
y=\frac{12\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{12\pm4}{2}.
Isso dá duas soluções para y:
y=\frac{12+4}{2}=8 \qquad\text{ou}\qquad y=\frac{12-4}{2}=4.

Passo 4

Voltando à variável original x usando y=2^{x}. Temos dois casos:
  1. Se y=8, então 2^{x}=8. Como 8=2^{3}, conclui-se x=3.
  2. Se y=4, então 2^{x}=4. Como 4=2^{2}, conclui-se x=2.
Explicação do passo: inverter 2^{x}=y é usar que a função exponencial base 2 é injetora, ou equivalentemente usar logaritmo base 2: x=\log_{2}y. Aqui os valores são potências inteiras de 2, então identificamos os expoentes diretamente.

Passo 5

Verificação rápida (para aumentar a confiança):
  • Para x=3:
4^{3}-12\cdot2^{3}+32 = 64-12\cdot8+32 = 64-96+32=0.
  • Para x=2:
4^{2}-12\cdot2^{2}+32 = 16-12\cdot4+32 = 16-48+32=0.
Ambos satisfazem a equação, e não existem outras soluções porque a substituição y=2^{x} cobre todos y>0 e a quadrática deu exatamente essas duas raízes positivas.

Passo 6

Conclusão final: o conjunto solução é formado pelos dois valores encontrados.

Resposta

\{2,3\}

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