O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' - 3y' + 2y = \sin x.
O conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
y'' - 3y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0
que fatoriza como (r-1)(r-2)=0. Logo as raízes são r=1 e r=2 e a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}.
Passo 3
Para a parte particular escolhemos a forma
y_p = A\cos x + B\sin x.
Derivando:
y_p' = -A\sin x + B\cos x,\quad y_p'' = -A\cos x - B\sin x.
Substituindo em y'' - 3y' + 2y\):
\[(-A\cos x - B\sin x) - 3(-A\sin x + B\cos x) + 2(A\cos x + B\sin x).
Agrupando termos de \cos x e \sin x obtemos o sistema
\begin{cases} A - 3B = 0,\\\\ 3A + B = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem (A=3B]. Substituindo na segunda: 3(3B) + B = 1 \;\Rightarrow\; 10B = 1 \;\Rightarrow\; B = \tfrac{1}{10},\; A = \tfrac{3}{10}.
Então y_p = \tfrac{3}{10}\cos x + \tfrac{1}{10}\sin x.
Passo 4
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular: