Resolva as seguintes equações de ordem alta:
y^{\mathrm{V}}+8 y^{\prime \prime \prime}+16 y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO homogênea de quinta ordem com coeficientes constantes
y^{\mathrm{V}} + 8\,y^{\prime\prime\prime} + 16\,y^{\prime} = 0.
O conteúdo aqui é resolução por equação característica: assumimos y=e^{r x} e encontramos os valores de r.

Passo 2

Assumindo y=e^{r x}, seus derivados são proporcionais a e^{r x} e a equação vira a característica
r^5 + 8\,r^3 + 16\,r = 0.
Fatorando r obtemos
r\,(r^4 + 8\,r^2 + 16) = 0.
Reconhecemos que r^4 +8r^2+16=(r^2+4)^2. Logo
r\,(r^2+4)^2 = 0.

Passo 3

As raízes da característica são
r_1 = 0\quad(\text{simples}),
r_{2,3} = 2i,\,-2i\quad(\text{cada uma com multiplicidade }2).
Como r=0 é simples, gera um termo constante na solução. As raízes complexas conjugadas \pm2i de multiplicidade 2 geram termos em \cos(2x), \sin(2x) e também x\cos(2x), x\sin(2x).

Passo 4

Juntando tudo, a solução geral real é
y(x) = C_{1} + C_{2}\cos(2x) + C_{3}\sin(2x) + C_{4}\,x\cos(2x) + C_{5}\,x\sin(2x),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},C_{5} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1} + C_{2}\cos(2x) + C_{3}\sin(2x) + C_{4}\,x\cos(2x) + C_{5}\,x\sin(2x).

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