Resolva as seguintes equações:
x^2 x^2-5 x+3=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^2x^2 - 5x + 3 = x
O conteúdo é equações exponenciais. Aqui é fundamental analisar separadamente os casos em que a base x é maior que zero (e, dentro desse caso, xneq1), igual a 1, igual a 0 e menor que zero (quando o expoente deve ser inteiro para a potência ser real).

Passo 2

Caso x>0 e xneq1:
Para a>0 e aneq1, a função a^y é injetora em y. Logo, em
x^2x^2 - 5x + 3 = x
podemos igualar o expoente a 1:
2x^2 - 5x + 3 = 1
Resolvendo
2x^2 -5x +2 =0,
o discriminante é De<a = (-5)^2 - 4cdot2cdot2 =9, daí
x = 5 pm 34 Longrightarrow x = 2 ou x = tfrac12

Passo 3

Caso x=1:
Temos 1^2cdot1^2 -5cdot1 +3 = 1^0 =1, e o lado direito também é 1. Portanto x=1 é solução.

Passo 4

Caso x=0:
O expoente em x=0 é 2cdot0^2 -5cdot0 +3 =3>0, de modo que 0^3 = 0. Isso coincide com o lado direito x=0. Logo x=0 é solução.

Passo 5

Caso x<0:
Para a potência x^2x^2-5x+3 ser real precisamos que o expoente seja inteiro. Porém, tentando resolver simultaneamente
|x|^2x^2-5x+3 = |x| e 2x^2 -5x +3inZ,
vimos que ou não satisfazem a igualdade de módulo ou não produzem sinal correto. Testes em valores racionais com expoente inteiro não geram novas soluções.

Resposta

As soluções reais da equação são
x in ,0,;tfrac12,;1,;2

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