Questão 2. (Valor 2,0) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços
a) lx+2 y-4 z+3 r-s=0 x+2 y-2 z+2 r+s=0 2 x+4 y-2 z+3 r+4 s=0
b) lx-y-z-t=0 2 x+y+t=0 z-t=0

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão dos subespaços de R^5 e R^4 definidos por sistemas homogêneos de equações lineares. O conteúdo é encontrar o espaço nulo de uma matriz (null space), usando eliminação de Gauss para expressar variáveis básicas em função de variáveis livres, parametrizar a solução, extrair vetores geradores independentes e, assim, obter uma base e a dimensão do subespaço.

Passo 2

Para o item (a), formamos a matriz dos coeficientes do sistema em R^5:
1 & 2 & -4 & 3 & -1 1 & 2 & -2 & 2 & 1 2 & 4 & -2 & 3 & 4
Aplicando Gauss:
R2 R2 - R1,; R3 R3 - 2R1 ;Longrightarrow; 1 & 2 & -4 & 3 & -1 0 & 0 & 2 & -1 & 2 0 & 0 & 6 & -3 & 6
R3 R3 - 3R2 ;Longrightarrow; 1 & 2 & -4 & 3 & -1 0 & 0 & 2 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Das duas equações não triviais extraímos:
2z - r + 2s = 0 Longrightarrow r = 2z + 2s,
x + 2y -4z +3r - s = 0 Longrightarrow x = -2y +4z -3r + s
Substituindo r em x:
x = -2y +4z -3(2z+2s) + s = -2y -2z -5s
Tomando variáveis livres y,z,s, o vetor genérico é
(x,y,z,r,s) = y,(-2,1,0,0,0) + z,(-2,0,1,2,0) + s,(-5,0,0,2,1)
Esses três vetores são independentes e geram o espaço nulo, logo
a dimensão é 3 e uma base é (-2,1,0,0,0),,(-2,0,1,2,0),,(-5,0,0,2,1)

Passo 4

Para o item (b), formamos a matriz em R^4:
1 & -1 & -1 & -1 2 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -1
Aplicando Gauss:
R2 R2 - 2R1 ;Longrightarrow; 1 & -1 & -1 & -1 0 & 3 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & -1

Passo 5

Das equações remontamos:
z - t = 0 Longrightarrow z = t,
3y +2z +3t = 0 Longrightarrow 3y +5t = 0 Longrightarrow y = -tfrac53t,
x - y - z - t = 0 Longrightarrow x = y+z+t = -tfrac53t + t + t = tfrac13t
t é livre, então a solução geral é
(x,y,z,t) = t,l(tfrac13,,-tfrac53,,1,,1r)
Podemos escolher o vetor (1,-5,3,3) (multiplicando por 3) como gerador. Logo a dimensão é 1 e uma base é (1,-5,3,3)

Resposta

a) Base (-2,1,0,0,0),,(-2,0,1,2,0),,(-5,0,0,2,1), dimensão 3.
b) Base (1,-5,3,3), dimensão 1.

Exercícios relacionados