Resolva os seguintes exercícios, encontrando e classificando todos os pontos críticos. f(x, y)=x^{2}-4 x+y^{2}
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}-4x+y^{2} e pede que a gente encontre e classifique todos os pontos críticos.\n
Informações importantes dadas:
A função é f(x,y)=x^{2}-4x+y^{2}.\n
O que precisa ser feito:
Encontrar todos os pontos (x,y) onde os derivadas parciais simultaneamente se anulam (ou onde as derivadas não existem).
Classificar cada ponto crítico como mínimo, máximo ou ponto de sela (ou dizer que o teste é inconclusivo).
Nada mais será assumido — vamos calcular tudo passo a passo.
Passo 2
Primeiro conceito que precisamos: ponto crítico. Um ponto (x,y) é crítico se o gradiente de f em (x,y) é o vetor nulo, isto é, se as derivadas parciais primeiras se anulam (ou se alguma delas não existe). O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Para pontos de duas variáveis, calcule D = \det H = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^{2} no ponto crítico.
Regras do teste:
Se D>0 e f_{xx}>0 no ponto crítico, então é mínimo local.
Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
Se D<0 então é ponto de sela.
Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vou explicar o porquê de forma simples: f_{xx} diz se a curvatura na direção x é para cima (positivo) ou para baixo (negativo); D combina as curvaturas nas duas direções e a interação entre elas. Para quadráticas simples isso é suficiente.]
\displaystyle f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-4)=0 (ou f_{yx}=0).\n
Portanto a Hessiana é
H=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
O determinante é
D = 2\cdot 2 - 0^{2} = 4.
Como D=4>0 e f_{xx}=2>0, pelo teste das segundas derivadas o ponto (2,0) é um mínimo local.]
Passo 7
Vamos reforçar a conclusão mostrando que esse mínimo é, na verdade, global. Observação prática: complete o quadrado em x:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4.
Assim
f(x,y) = (x-2)^{2} + y^{2} - 4.
Os termos (x-2)^{2} e y^{2} são sempre \ge 0. O menor valor que a soma (x-2)^{2}+y^{2} pode ter é 0, quando x=2 e y=0. Portanto o valor mínimo de f é -4, atingido em (2,0). Isso mostra que o mínimo é global (não há valores de f menores que -4).
Passo 8
Calcule o valor em o ponto crítico para completar a resposta: