Resolva os seguintes exercícios, encontrando e classificando todos os pontos críticos.
f(x, y)=x^{2}-4 x+y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}-4x+y^{2} e pede que a gente encontre e classifique todos os pontos críticos.\n
Informações importantes dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}-4x+y^{2}.\n
    O que precisa ser feito:
  • Encontrar todos os pontos (x,y) onde os derivadas parciais simultaneamente se anulam (ou onde as derivadas não existem).
  • Classificar cada ponto crítico como mínimo, máximo ou ponto de sela (ou dizer que o teste é inconclusivo).
    Nada mais será assumido — vamos calcular tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro conceito que precisamos: ponto crítico. Um ponto (x,y) é crítico se o gradiente de f em (x,y) é o vetor nulo, isto é, se as derivadas parciais primeiras se anulam (ou se alguma delas não existe). O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Aqui a função é polinomial, então as derivadas existem em todo lugar; portanto procuraremos os pontos onde ambas as derivadas parciais são zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Lembre como derivar termo a termo:
  • Derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • Derivada de -4x em relação a x é -4.
  • Termos em y tratam-se como constantes ao derivar em relação a x.
  • Derivada de y^{2} em relação a y é 2y.
    Assim
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-4
e
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=(2x-4,\;2y).

Passo 4

Agora achamos os pontos críticos resolvendo o sistema \nabla f(x,y)=(0,0)\), isto é: \[\begin{cases} 2x-4=0,\\[4pt] 2y=0. \end{cases}
Resolvendo cada equação:
  • Da primeira: 2x-4=0 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2.\] - Da segunda: \(2y=0 \Rightarrow y=0.
    Logo há exatamente um ponto crítico: (x,y)=(2,0).]

Passo 5

Agora vamos classificar esse ponto. Usamos o teste das derivadas de segunda (matriz Hessiana). Definições e ideia:
  • A Hessiana é a matriz das segundas derivadas
H(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\\[4pt] \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
  • Para pontos de duas variáveis, calcule D = \det H = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^{2} no ponto crítico.
  • Regras do teste:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 no ponto crítico, então é mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
    • Se D<0 então é ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vou explicar o porquê de forma simples: f_{xx} diz se a curvatura na direção x é para cima (positivo) ou para baixo (negativo); D combina as curvaturas nas duas direções e a interação entre elas. Para quadráticas simples isso é suficiente.]

Passo 6

Calculemos as segundas derivadas da nossa função:
  • \displaystyle f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(2x-4)=2.
  • \displaystyle f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2.
  • \displaystyle f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-4)=0 (ou f_{yx}=0).\n
    Portanto a Hessiana é
H=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
O determinante é
D = 2\cdot 2 - 0^{2} = 4.
Como D=4>0 e f_{xx}=2>0, pelo teste das segundas derivadas o ponto (2,0) é um mínimo local.]

Passo 7

Vamos reforçar a conclusão mostrando que esse mínimo é, na verdade, global. Observação prática: complete o quadrado em x:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4.
Assim
f(x,y) = (x-2)^{2} + y^{2} - 4.
Os termos (x-2)^{2} e y^{2} são sempre \ge 0. O menor valor que a soma (x-2)^{2}+y^{2} pode ter é 0, quando x=2 e y=0. Portanto o valor mínimo de f é -4, atingido em (2,0). Isso mostra que o mínimo é global (não há valores de f menores que -4).

Passo 8

Calcule o valor em o ponto crítico para completar a resposta:
f(2,0)=2^{2}-4\cdot 2 + 0^{2}=4-8=-4.

Resposta

(2,0): mínimo global, f(2,0)=-4

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