Verifique se
é uma solução implícita da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
e pede para verificar se ela é solução da equação diferencial
Informações relevantes que temos: a relação implícita entre
e
(acima) e a equação diferencial que deve ser satisfeita. O objetivo é calcular
e
a partir da relação implícita e verificar se ao substituir na expressão
obtemos exatamente
.
Passo 2
Vamos obter
por diferenciação implícita. Explico a técnica: quando
depende de
(ou seja
), ao diferenciar uma expressão que envolve
usamos a regra da cadeia — a derivada de uma função de
em relação a
é a derivada em relação a
multiplicada por
. Aplicando isso à equação dada, diferenciamos ambos os lados em relação a
:
Agora calculamos cada derivada: a derivada de
é
(por regra da cadeia), a de
é
, e a do lado direito é
. Assim:
Passo 3
Fatoramos
no lado esquerdo e isolamos
. Mostrando as etapas:
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Interpretação: a derivada primeira
em qualquer ponto é
. Observe que isso depende de
, o que é normal quando temos uma relação implícita.
Passo 4
Agora precisamos de
. Vamos diferenciar
em relação a
. Uso novamente a regra da cadeia: se
então
. Aqui
. Primeiro calculemos
usando a regra da potência e a cadeia:
Agora multiplicamos por
para obter
:
Substituindo
(obtido no passo anterior) nesta expressão, temos
Passo 5
Agora calculemos o lado direito da equação diferencial proposta:
. Primeiro elevamos
ao cubo:
Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Comparemos os resultados dos passos anteriores. Do passo 4 encontramos
e do passo 5 encontramos
As duas expressões são idênticas, logo a relação implícita satisfaz exatamente a equação diferencial dada. Conclusão: a relação é solução da EDO. Força — você conseguiu verificar passo a passo!
Resposta
Sim. A relação
satisfaz
.