Verifique se y^{3}+3 y=1-3 x é uma solução implícita da equação diferencial y^{\prime \prime}=2 y\left(y^{\prime}\right)^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y^{3}+3y=1-3x
e pede para verificar se ela é solução da equação diferencial
y''=2y\,(y')^{3}.
Informações relevantes que temos: a relação implícita entre x e y (acima) e a equação diferencial que deve ser satisfeita. O objetivo é calcular y' e y'' a partir da relação implícita e verificar se ao substituir na expressão 2y\,(y')^{3} obtemos exatamente y''.

Passo 2

Vamos obter y' por diferenciação implícita. Explico a técnica: quando y depende de x (ou seja y=y(x)), ao diferenciar uma expressão que envolve y usamos a regra da cadeia — a derivada de uma função de y em relação a x é a derivada em relação a y multiplicada por y'. Aplicando isso à equação dada, diferenciamos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}+3y\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(1-3x\bigr).
Agora calculamos cada derivada: a derivada de y^{3} é 3y^{2}y' (por regra da cadeia), a de 3y é 3y', e a do lado direito é -3. Assim:
3y^{2}y' + 3y' = -3.

Passo 3

Fatoramos y' no lado esquerdo e isolamos y'. Mostrando as etapas:
3(y^{2}+1)\,y'=-3.
Dividindo ambos os lados por 3(y^{2}+1) obtemos
y'=\frac{-3}{3(y^{2}+1)}=\frac{-1}{y^{2}+1}.
Interpretação: a derivada primeira y' em qualquer ponto é \displaystyle y'=-\frac{1}{y^{2}+1}. Observe que isso depende de y, o que é normal quando temos uma relação implícita.

Passo 4

Agora precisamos de y''. Vamos diferenciar y'=\displaystyle - (y^{2}+1)^{-1} em relação a x. Uso novamente a regra da cadeia: se y' = f(y) então y'' = f'(y)\,y'. Aqui f(y)=-(y^{2}+1)^{-1}. Primeiro calculemos f'(y) usando a regra da potência e a cadeia:
f'(y) = -\bigl(-1\bigr)(y^{2}+1)^{-2}\cdot 2y = 2y (y^{2}+1)^{-2}.
Agora multiplicamos por y' para obter y'':
y'' = f'(y)\,y' = 2y (y^{2}+1)^{-2}\cdot y'.
Substituindo y'=-\dfrac{1}{y^{2}+1} (obtido no passo anterior) nesta expressão, temos
y'' = 2y\cdot\left(y^{2}+1\right)^{-2}\cdot\left(-\frac{1}{y^{2}+1}\right) = -\frac{2y}{(y^{2}+1)^{3}}.

Passo 5

Agora calculemos o lado direito da equação diferencial proposta: 2y\,(y')^{3}. Primeiro elevamos y' ao cubo:
(y')^{3}=\left(-\frac{1}{y^{2}+1}\right)^{3}=-\frac{1}{(y^{2}+1)^{3}}.
Multiplicando por 2y obtemos
2y\,(y')^{3}=2y\cdot\left(-\frac{1}{(y^{2}+1)^{3}}\right)=-\frac{2y}{(y^{2}+1)^{3}}.

Passo 6

Comparemos os resultados dos passos anteriores. Do passo 4 encontramos
y''=-\frac{2y}{(y^{2}+1)^{3}},
e do passo 5 encontramos
2y\,(y')^{3}=-\frac{2y}{(y^{2}+1)^{3}}.
As duas expressões são idênticas, logo a relação implícita satisfaz exatamente a equação diferencial dada. Conclusão: a relação é solução da EDO. Força — você conseguiu verificar passo a passo!

Resposta

Sim. A relação \,y^{3}+3y=1-3x\, satisfaz \,y''=2y\,(y')^{3}.

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