Seja A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 5 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & -4\end{array}\right].
Encontre a solução geral do sistema \left(A-2 I_{3}\right) X=\bar{O}
Resp.: X=\left[\begin{array}{c}5 \alpha \\\\ 6 \alpha \\\\ -\alpha\end{array}\right], \alpha \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 5 \\[4pt] 1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -4\end{pmatrix}
e pede a solução geral do sistema homogêneo
\left(A-2I_{3}\right)X=\bar{O},
onde \bar{O} é o vetor nulo em \mathbb{R}^{3}. As informações relevantes que temos são:
\text{(i) }A\text{ é }3\times 3;\quad \text{(ii) }I_{3}\text{ é a identidade }3\times3;\quad \text{(iii) }X=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}.éé
O que o problema pede é a descrição de todos os vetores X que satisfazem a equação acima (a solução geral do sistema homogêneo). Não vou resolver nada ainda; só deixei claro o que se pede e os dados.]

Passo 2

Primeiro calculemos a matriz \;A-2I_{3}\;. Subtrair 2 dos elementos da diagonal de A dá:
A-2I_{3}= \begin{pmatrix} 1-2 & 0 & 5 \\[4pt] 1 & 1-2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 5 \\[4pt] 1 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -6 \end{pmatrix}.
Vou chamar essa matriz de B, isto é \;B:=A-2I_{3}.]

Passo 3

Escrevemos o sistema homogêneo B X=\bar{O}\) componente a componente. Se \(X=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix}\), as equações são: \[\begin{cases} - x_{1} + 0\cdot x_{2} + 5 x_{3} = 0,\\[4pt] x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0,\\[4pt] 0\cdot x_{1} + x_{2} - 6 x_{3} = 0. \end{cases}
Para ficar bem claro: cada linha da matriz B\] gera uma equação linear em \(x_{1},x_{2},x_{3}.]

Passo 4

Agora vamos resolver essas equações. Uma estratégia simples e direta para sistemas pequenos é usar substituição, aproveitando equações simples. Observe a terceira equação:
x_{2}-6x_{3}=0\quad\Longrightarrow\quad x_{2}=6x_{3}.
Isto nos dá x_{2} em função de x_{3}. Isso já é ótimo porque reduz o número de incógnitas.

Passo 5

Use x_{2}=6x_{3} na segunda equação x_{1}-x_{2}+x_{3}=0. Substituindo:
x_{1} - (6x_{3}) + x_{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} -5x_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=5x_{3}.
Portanto obtivemos x_{1} também em função de x_{3}.

Passo 6

Verificamos a primeira equação para consistência: a primeira é -x_{1}+5x_{3}=0. Substituindo x_{1}=5x_{3} obtemos -5x_{3}+5x_{3}=0, que é verdadeira. Isso mostra que as três equações são compatíveis entre si e não criarão contradição.

Passo 7

Concluímos que x_{3} é a variável livre (um parâmetro). Chamando esse parâmetro de t\in\mathbb{R} (qualquer número real), temos
x_{3}=t,\qquad x_{1}=5t,\qquad x_{2}=6t.
Portanto a solução geral do sistema é
X=t\begin{pmatrix}5\\[4pt]6\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Explicando pedagogicamente: o espaço de soluções do sistema homogêneo é o núcleo (ou nulidade) da matriz B. Aqui o núcleo é uma reta de dimensão 1 gerada pelo vetor \begin{pmatrix}5\\\ 6\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Se você quiser, podemos checar rapidamente: multiplicando B pelo vetor gerador \begin{pmatrix}5\\\ 6\\\ 1\end{pmatrix} obtemos
\begin{pmatrix}-1 & 0 & 5 \\[4pt] 1 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\[4pt]6\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5+5\\[4pt]5-6+1\\[4pt]6-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
confirmando que esse vetor realmente anula B. Pronto — solução encontrada e checada.]

Resposta

X=t\begin{pmatrix}5\\[4pt]6\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

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