onde \bar{O} é o vetor nulo em \mathbb{R}^{3}. As informações relevantes que temos são:
\text{(i) }A\text{ é }3\times 3;\quad \text{(ii) }I_{3}\text{ é a identidade }3\times3;\quad \text{(iii) }X=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}.éé
O que o problema pede é a descrição de todos os vetores X que satisfazem a equação acima (a solução geral do sistema homogêneo). Não vou resolver nada ainda; só deixei claro o que se pede e os dados.]
Passo 2
Primeiro calculemos a matriz \;A-2I_{3}\;. Subtrair 2 dos elementos da diagonal de A dá:
Vou chamar essa matriz de B, isto é \;B:=A-2I_{3}.]
Passo 3
Escrevemos o sistema homogêneo B X=\bar{O}\) componente a componente. Se \(X=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix}\), as equações são:
\[\begin{cases} - x_{1} + 0\cdot x_{2} + 5 x_{3} = 0,\\[4pt] x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0,\\[4pt] 0\cdot x_{1} + x_{2} - 6 x_{3} = 0. \end{cases}
Para ficar bem claro: cada linha da matriz B\] gera uma equação linear em \(x_{1},x_{2},x_{3}.]
Passo 4
Agora vamos resolver essas equações. Uma estratégia simples e direta para sistemas pequenos é usar substituição, aproveitando equações simples. Observe a terceira equação:
Portanto obtivemos x_{1} também em função de x_{3}.
Passo 6
Verificamos a primeira equação para consistência: a primeira é -x_{1}+5x_{3}=0. Substituindo x_{1}=5x_{3} obtemos -5x_{3}+5x_{3}=0, que é verdadeira. Isso mostra que as três equações são compatíveis entre si e não criarão contradição.
Passo 7
Concluímos que x_{3} é a variável livre (um parâmetro). Chamando esse parâmetro de t\in\mathbb{R} (qualquer número real), temos
Explicando pedagogicamente: o espaço de soluções do sistema homogêneo é o núcleo (ou nulidade) da matriz B. Aqui o núcleo é uma reta de dimensão 1 gerada pelo vetor \begin{pmatrix}5\\\ 6\\\ 1\end{pmatrix}.]
Passo 8
Se você quiser, podemos checar rapidamente: multiplicando B pelo vetor gerador \begin{pmatrix}5\\\ 6\\\ 1\end{pmatrix} obtemos