Resolva as seguintes inequações:
(b) log 4(x+3)+log 4(x-9)>3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação logarítmica log4(x+3)+log4(x-9)>3. Isso envolve domínio de funções logarítmicas, uso da propriedade de soma de logaritmos e resolução de inequação polinomial.

Passo 2

Para que os logaritmos estejam definidos, precisamos de x+3>0 e x-9>0. Ou seja,
x>-3
x>9 A condição mais restrita é x>9. Esse será o domínio em que procuramos soluções.

Passo 3

Usando a propriedade logaM+logaN=loga(MN), podemos combinar os termos:
log4l((x+3)(x-9)r)>3

Passo 4

Como a base 4 é maior que 1, a função logarítmica é crescente. Então podemos aplicar a exponenciação com base 4 em ambos os lados sem inverter o sinal:
(x+3)(x-9)>4^3

Passo 5

Calculando 4^3=64 e expandindo o produto, temos:
x^2-6x-27>64

Passo 6

Subtraindo 64 de ambos os lados:
x^2-6x-91>0

Passo 7

Essa é uma inequação quadrática. Calculamos o discriminante para fatorar:
DeAs raízes são
x=6pm202implies x=13 ou x=-7

Passo 8

Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a inequação x^2-6x-91>0 vale para x<-7 ou x>13. Porém, lembrando do domínio x>9, descartamos a parte x<-7 e ficamos com
x>13

Resposta

(13,\infty)

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