Resolva as seguintes inequações e escreva a solução com a notação de intervalo
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
e escrever a solução na notação de intervalo. Informação relevante dada:
- Tem-se um produto de duas expressões dependentes de
e a desigualdade é estrita ( ), portanto os pontos onde algum fator é zero não pertencem à solução. - A tarefa é encontrar todos os
reais que tornam o produto positivo e apresentar a união dos intervalos desses .
Passo 2
Primeiro fatoro cada expressão para identificar as raízes (os pontos onde cada fator se anula):
Portanto os zeros de cada fator são obtidos resolvendo cada fator igual a zero:
- De
vem . - De
vem . - De
vem . - De
vem .
Passo 3
Explicação do método que vamos usar (muito comum em provas): um produto de fatores é positivo quando os fatores têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Assim:
- Encontramos os pontos críticos (as raízes), que dividem a reta real em intervalos.
- Em cada intervalo escolhemos um ponto teste e verificamos o sinal de cada fator nesse ponto.
- Como a desigualdade é estrita (
), excluímos as raízes (os pontos onde algum fator é zero).
Passo 4
Ordenando os pontos críticos em ordem crescente obtemos:
Estes quatro pontos dividem a reta em cinco intervalos a testar:
Passo 5
Agora faço um teste em cada intervalo. Em cada teste calculo o sinal de
e de
e depois o sinal do produto.
- Intervalo
. Escolho .
Produto: negativo
positivo
negativo. Conclusão: não satisfaz.
- Intervalo
. Escolho .
Produto: negativo
negativo
positivo. Conclusão: satisfaz (este intervalo entra na solução).
- Intervalo
. Escolho .
Produto: positivo
negativo
negativo. Conclusão: não satisfaz.
- Intervalo
. Escolho .
Produto: positivo
positivo
positivo. Conclusão: satisfaz (este intervalo entra na solução).
- Intervalo
. Escolho .
Produto: negativo
positivo
negativo. Conclusão: não satisfaz.
Passo 6
Juntando os intervalos que satisfazem a inequação (lembre que as raízes não entram porque a desigualdade é estrita), a solução é a união dos intervalos obtidos nos passos onde o produto foi positivo: