Resolva as seguintes inequações e escreva a solução com a notação de intervalo
\left(1-4 x^{2}\right)\left(2 x^{2}+3 x\right)>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\left(1-4 x^{2}\right)\left(2 x^{2}+3 x\right)>0
e escrever a solução na notação de intervalo. Informação relevante dada:
  • Tem-se um produto de duas expressões dependentes de x e a desigualdade é estrita ( >), portanto os pontos onde algum fator é zero não pertencem à solução.
  • A tarefa é encontrar todos os x reais que tornam o produto positivo e apresentar a união dos intervalos desses x.

Passo 2

Primeiro fatoro cada expressão para identificar as raízes (os pontos onde cada fator se anula):
1-4x^{2}=(1-2x)(1+2x)
2x^{2}+3x=x(2x+3)
Portanto os zeros de cada fator são obtidos resolvendo cada fator igual a zero:
  • De 1-2x=0 vem x=\tfrac{1}{2}.
  • De 1+2x=0 vem x=-\tfrac{1}{2}.
  • De x=0 vem x=0.
  • De 2x+3=0 vem x=-\tfrac{3}{2}.

Passo 3

Explicação do método que vamos usar (muito comum em provas): um produto de fatores é positivo quando os fatores têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Assim:
  • Encontramos os pontos críticos (as raízes), que dividem a reta real em intervalos.
  • Em cada intervalo escolhemos um ponto teste e verificamos o sinal de cada fator nesse ponto.
  • Como a desigualdade é estrita ( >), excluímos as raízes (os pontos onde algum fator é zero).

Passo 4

Ordenando os pontos críticos em ordem crescente obtemos:
-\tfrac{3}{2},\; -\tfrac{1}{2},\; 0,\; \tfrac{1}{2}.
Estes quatro pontos dividem a reta em cinco intervalos a testar:
(-\infty,-\tfrac{3}{2}),\; (-\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2}),\; (-\tfrac{1}{2},0),\; (0,\tfrac{1}{2}),\; (\tfrac{1}{2},\infty).

Passo 5

Agora faço um teste em cada intervalo. Em cada teste calculo o sinal de 1-4x^{2} e de 2x^{2}+3x e depois o sinal do produto.
  1. Intervalo (-\infty,-\tfrac{3}{2}). Escolho x=-2.
1-4(-2)^{2}=1-16=-15\quad(\text{negativo})
2(-2)^{2}+3(-2)=8-6=2\quad(\text{positivo})
Produto: negativo \times positivo = negativo. Conclusão: não satisfaz.
  1. Intervalo (-\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2}). Escolho x=-1.
1-4(-1)^{2}=1-4=-3\quad(\text{negativo})
2(-1)^{2}+3(-1)=2-3=-1\quad(\text{negativo})
Produto: negativo \times negativo = positivo. Conclusão: satisfaz (este intervalo entra na solução).
  1. Intervalo (-\tfrac{1}{2},0). Escolho x=-\tfrac{1}{4}.
1-4\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{2}=1-4\cdot\tfrac{1}{16}=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}\quad(\text{positivo})
2\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{2}+3\left(-\tfrac{1}{4}\right)=2\cdot\tfrac{1}{16}-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{8}-\tfrac{3}{4}=-\tfrac{5}{8}\quad(\text{negativo})
Produto: positivo \times negativo = negativo. Conclusão: não satisfaz.
  1. Intervalo (0,\tfrac{1}{2}). Escolho x=\tfrac{1}{4}.
1-4\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}=1-4\cdot\tfrac{1}{16}=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}\quad(\text{positivo})
2\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}+3\left(\tfrac{1}{4}\right)=2\cdot\tfrac{1}{16}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{7}{8}\quad(\text{positivo})
Produto: positivo \times positivo = positivo. Conclusão: satisfaz (este intervalo entra na solução).
  1. Intervalo (\tfrac{1}{2},\infty). Escolho x=1.
1-4(1)^{2}=1-4=-3\quad(\text{negativo})
2(1)^{2}+3(1)=2+3=5\quad(\text{positivo})
Produto: negativo \times positivo = negativo. Conclusão: não satisfaz.

Passo 6

Juntando os intervalos que satisfazem a inequação (lembre que as raízes não entram porque a desigualdade é estrita), a solução é a união dos intervalos obtidos nos passos onde o produto foi positivo:
\left(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2}\right)\cup\left(0,\tfrac{1}{2}\right).

Resposta

(-3/2,-1/2)\cup(0,1/2)

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