Resolva as seguintes inequações:
\frac{(x-1) \cdot\left(x^{2}+2 x+1\right)}{x^{2}+4 x+4}<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{(x-1)\,(x^{2}+2x+1)}{x^{2}+4x+4}<0.
Este é um problema de análise de sinais de uma função racional, em que vamos precisar fatorar numerador e denominador e estudar o sinal em cada intervalo determinado pelos zeros e polos.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}, \qquad x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}.
Logo a expressão fica
\frac{(x-1)\,(x+1)^{2}}{(x+2)^{2}}<0.

Passo 3

Identificamos os pontos que anulam numerador ou denominador:
– Numerador zero em x=1 (multiplicidade 1) e em x=-1 (multiplicidade 2).
– Denominador zero em x=-2 (multiplicidade 2), onde a função é indefinida.
Esses pontos particionam a reta real em intervalos.

Passo 4

Para cada fator:
(x+1)^{2} é sempre não negativa e só zera em x=-1.
(x+2)^{2} é sempre positiva salvo em x=-2 (onde é polo).
– O único fator que muda de sinal é (x-1), que é negativo se x<1 e positivo se x>1.
Em x=-1 o numerador zera e torna a expressão igual a zero (não satisfaz o “<0”). Em x=-2 a expressão não existe. Portanto a inequação \frac{(x-1)(x+1)^{2}}{(x+2)^{2}}<0 é equivalente a
x-1<0 \quad\text{com exclusão de }x=-1\text{ e }x=-2,ã
ou seja x<1, mas sem incluir -2 nem -1.

Passo 5

Juntando tudo, a solução é
(-\infty,-2)\,\cup\,(-2,-1)\,\cup\,(-1,1).

Resposta

(-\infty,-2)\,\cup\,(-2,-1)\,\cup\,(-1,1).

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