Resolva as seguintes inequações:
\left(-x^{2}+1\right)(2 x+3) \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação de grau 3 em \mathbb{R}:
(-x^{2}+1)(2x+3)\ge 0.
Aqui vamos usar fatoração de polinômio e análise de sinais dos fatores para encontrar onde o produto é não-negativo.

Passo 2

Fatoramos o primeiro fator -x^{2}+1:
-x^{2}+1 = 1 - x^{2} = (1 - x)(1 + x).
Então a inequação fica
(1 - x)(1 + x)(2x + 3)\ge 0.

Passo 3

Encontramos os zeros de cada fator:
1 - x = 0 \implies x = 1, \quad 1 + x = 0 \implies x = -1, \quad 2x + 3 = 0 \implies x = -\tfrac32.
Esses pontos dividem a reta em quatro intervalos. Agora avaliamos o sinal de (1 - x)(1 + x)(2x + 3) em cada intervalo:
- Em x < -\tfrac32: escolhemos x=-2. Então 1-x>0, 1+x<0, 2x+3<0, produto >0.
- Em -\tfrac32 < x < -1: escolhemos x=-1{,}25. Então 1-x>0, 1+x<0, 2x+3>0, produto <0.
- Em -1 < x < 1: escolhemos x=0. Então 1-x>0, 1+x>0, 2x+3>0, produto >0.
- Em x > 1: escolhemos x=2. Então 1-x<0, 1+x>0, 2x+3>0, produto <0.

Passo 4

Como queremos \ge0, incluímos também os zeros x=-\tfrac32, -1 e 1. Logo a solução é
(-\infty,\,-\tfrac32] \;\cup\; [-1,\,1].

Resposta

(-\infty,\,-\tfrac32] \cup [-1,\,1].

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