Resolva, em R, as seguintes inequaçōes, sabendo que 2 é solução das quatro propostas.
-x^{3}-\frac{8}{3} x^{2}+11 x-\frac{10}{3} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede resolver em \mathbb{R} a inequação
-x^3 - \tfrac{8}{3}x^2 + 11x - \tfrac{10}{3} \;\le\; 0.
O conteúdo envolve fatoração de polinômios, uso do Teorema do Resto para encontrar raízes e análise de sinal de polinômios.

Passo 2

Para simplificar os coeficientes, multiplicamos ambos os lados por -3 (invertendo a desigualdade):
-3\Bigl(-x^3 - \tfrac{8}{3}x^2 + 11x - \tfrac{10}{3}\Bigr)\;\ge\;0 \;\Longleftrightarrow\; 3x^3 + 8x^2 - 33x + 10 \;\ge\; 0.
Definindo
p(x)=3x^3+8x^2-33x+10,
sabemos que x=2 é raiz. Aplicando a divisão sintética de p(x) por (x-2):
Coeficientes: 3,\;8,\;-33,\;10.
Trazer 3, multiplicar por 2 6, somar a 8 14, multiplicar por 2 28, somar a -33 -5, multiplicar por 2 -10, somar a 10 0.
Logo
p(x)=(x-2)\,\bigl(3x^2+14x-5\bigr).

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática 3x^2+14x-5=0 pela fórmula de Bhaskara:
\Delta = 14^2 - 4\cdot3\cdot(-5) = 196 + 60 = 256, \qquad x = \frac{-14 \pm \sqrt{256}}{6} = \frac{-14 \pm 16}{6}.
Assim as raízes são
x = \frac{-14+16}{6} = \tfrac{1}{3}, \quad x = \frac{-14-16}{6} = -5.
Portanto, as raízes de p(x) são x=-5, x=\tfrac13 e x=2.

Passo 4

Como p(x) é cúbico com coeficiente líder positivo, seu sinal varia assim:
  • p(x)<0 em (-\infty,-5),
  • p(x)>0 em -5<x<\tfrac13,
  • p(x)<0 em \tfrac13<x<2,
  • p(x)>0 em (2,\infty).
Voltando à função original f(x)=-\tfrac13\,p(x), queremos f(x)\le0, ou seja
-\tfrac13\,p(x)\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad p(x)\ge0.
Logo a solução da inequação é
p(x)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in\bigl[-5,\tfrac13\bigr]\cup[2,\infty).

Resposta

x\in\bigl[-5,\tfrac{1}{3}\bigr]\;\cup\;\bigl[2,\infty\bigr].

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